Апроксимация функции

f(x) задана таблично на [a,b]. Процесс апроксимации это построение полинома проходящего в близи этих точек, сглаживающего их.По исходным данным подобрать такую аналитическую ф-ю φ (х), где х є[a,b], которая имела бы простую структуру и сглаживала бы исходные даные и как можно лучше отображала ф-ю f(x). Это процесс назыв. апроксимацией. Интерполяция это частный случай апроксимации. При апроксимации используются различные классы ф-й (это степен.ф-и, тригоном-е ф-и.). Он выбирается из физического смысла задачи. Степень полинома k<n (кол-во точек) т.к точность от нас не требует точного совпад-я в узлах апроксимации. Сущест-ют две меры близости f(x) к φ (х). 1) δ²=_i=0Σⁿ(φ(х_i)-f(x_i))² ®0 Нам необходимо найти min этой ф-и т.е сумма квадратов отклонения в узлах апроксимации должна быть min. Это метод наимен. квадратов.2)Δ=max|φ(х_i)-f(x_i)|→ 0 max отклонения апроксимирующей ф-ии должно быть min. Это равномер. апроксимация. Он использ. редко.

Методом наим-ых квадратов(МНК). О качестве полученной апроксимации можно судить по величене уклонений

Vi=| φ(х_i)-f(x_i)|, i=0…n. Если мы составили апроксимирующий полином, вычислили отклонения для всех узлов и эти уклонения нас не устраивают, то нам необходимо увеличить степень полинома с k до k+1.Это приводит к повтору всех проделанных вычислений. Поэтому желательно найти способ составления всех апроксимир-их полиномов от кот. Легко перейти от k к k+1 без сложных вычислений.

Пусть дана n+1 ф-ця f(x) – задана таблично X: X0; X1… Xn

Y: Y0; Y… Yn

получаем полином

2)

Аналогично степенному можно составить 2n+1 уравнение при n – неизвестных. Получаем систему лин уравнений отн этих неизвестных. X0; X1…Xn

Y0; Y1…Yn

Получаем

3) Показательная ф-ция:

При составлении систем уравнений получаем не линейную систему уравнений. Определение степени полинома достаточно для n

определения ф-ции. Пусть ф-ция y=f(x) задана таблично X: X0; X1;…Xn

Пусть &&&& равноотстоящий Y: Y0; Y1;… Yn

--конечные разности первого порядка их на 1 меньше чем точек. Составим другие разности:

-конечные разности 2-го порядка

конечные разности “ К” порядка

Обычно конечные разности записываются в таблице

можно использовать как оператор ;

Утверждение: для полинома степени “n” конечная разность n – порядка есть постоянная величина равная, а все разности более высокого порядка того действенно равны “0” (действует в том случае если у нас нет ошибок округления). На практике придерживаются другого правила. Практическое использование степени интерполяционного полинома.

Степень искомого полинома должна совпадать с порядком практически постоянных конечных разностей в пределах погрешности вычисления

X 0; 0.1; 0.2; 0.3; 0.4; 0.5; 0.6; 0.7; 0.8

Y 1; 0.99; 2.98; 5.92; 1.985; 2.473; 3.062; 3.754

0.099; 0.199; 0.204; 0.393; 0.488; 0.589

0.1; 0.015; 0.099; 0.095; 0.101; 0.103; 0.093

-0.005; +0.004; -0.004; 0.006; 0.002; -0.01

0.009; -0.008; 0.001; -0.004; -0.012

Разность второго порядка почти одинаковы 0,1. Из таблицы берём, что степень полинома = 2.

,так как одинакова смысл разности 1 порядка

Пусть X не равноотстоящие

X0 Y0 Составим разделённые разности 1-го порядка

X1 Y1 ……..

Xn Yn

Сплайн-аппроксимация

Другой метод аппроксимации — сплайн-аппроксимация — отличается от полиномиальной аппроксимации Лагранжем и Ньютоном. Сплайном называется функция, которая вместе с несколькими производными непрерывна на отрезке [a, b], а на каждом частном интервале этого отрезка [x_i, x_i+1] в отдельности являются некоторым многочленом невысокой степени. В настоящее время применяют кубический сплайн, то есть на каждом локальном интервале функция приближается к полиному 3-го порядка. Трудности такой аппроксимации связаны с низкой степенью полинома, поэтому сплайн плохо аппроксимируется с большой первой производной. Сплайновая интерполяция напоминает лагранжевую тем, что требует только значения в узлах, но не её производных.

Дата добавления: 2014-01-05