Связь между проекцией и скалярным произведением

Основные свойства скалярного произведения

1°. (b, a) = (a, b) (коммутативность).

2°. (a + b, c) = (a, c) + (b, c).

3°. (λ a, b) = λ(a, b).

4°. (a, b + c) = (a, b) + (a, c).

5°. (a, λ b) = λ(a, b).

6°. (a, a) всегда ≥ 0, причём (a, a) = 0 в том и только в том случае, когда a = 0 (по­ложительная определённость скалярного произведения).

Свойства 2°−5° в совокупности называются свойством билинейности скалярного произведения, свойства 2°−3° − линейностью по первому аргументу, 4°−5° − линейностью по второму аргументу. Эти свойства будут доказаны в следующем пункте. Заметим, что из свойств 1° и 2° легко вывести свойство 4° и, наоборот, из 1° и 4° выводится 2°. Анало­гично из свойств 1° и 3° легко вывести свойство 5° и, наоборот, из 1° и 5° выводится 3°. Свойство 1° очевидно из определения. Для доказательства свойства 6° заметим, что ска­лярный квадрат равен квадрату длины данного вектора и, следовательно, есть неотрица­тельное число. Если же это число равно 0, то квадрат длины данного вектора равен 0, т. е. его длина равна 0 и, следовательно, сам вектор равен 0 (только нулевой вектор имеет ну­левую длину!).

Пусть даны два вектора a и b, причём вектор a ≠ 0. Приведём их к общему началу и обозначим угол между данными векторами через j. Имеем, очевидно,

Pr _ab = | b |∙cos j.

Отмечу, что эта формула правильно учитывает знак величины проекции Pr _ab. В самом деле, если угол j острый, то вектор проекции сонаправлен с вектором a, а косинус в этом случае положителен. Получается, что в обеих частях равенства неотрицательные числа. Наоборот, если угол j туп, то вектор проекции противоположно направлен с вектором a, а косинус в этом случае отрицателен. Тогда в обеих частях равенства неположительные числа. Далее:

(a, b) = | a |∙| b |∙cos j = | a |∙ Pr _ab.

Мы получили, следовательно, формулу для вычисления величины проекции через скаляр­ное произведение:

Pr _ab =

Пользуясь этими формулами, докажем теперь свойство 4° скалярного произведе­ния:

(a, b + c) = | a |∙ Pr _a (b + c) = | a |∙ Pr _ab + | a |∙ Pr _ac = (a, b) + (a, c),

QED.

Это доказательство не проходит в случае a = 0 (т. к. нельзя рассматривать проек­ции на нулевой вектор). Но в этом случае свойство 4° и так очевидно, т. к. в обеих частях равенства стоят нули.

Дата добавления: 2014-01-05