Нули и экстремумы функций

Как известно, решение уравнений и поиск экстремумов функций - родственные задачи. Так решение системы f_i(X)=0, i=1,...,n можно заменить поиском минимума , заведомо равного нулю, если система имеет решение. С другой стороны, поиск экстремумов функции можно свести к решению системы уравнений относительно нулевых значений ее производных.

Для некоторых классов функций имеются вполне универсаль-ные методы решения: так для полиномов поиск корней реализуется без каких-то условий обобщенным методом Ньютона - функцией roots(...). В общем случае при великом многообразии методов реше-ние подобных задач отнюдь нетроивиально. В системе реализованы функции лишь для простейших задач без гарантий получения реше-ния.

xmin=fmin(' имя ',a,b), xmin=fmin(' имя ',a,b, <опции> ), xmin= fmin (' имя ', a,b, <опции>, p1,...,p10), [xmin,options]=fmin(...) - поиск минимума функции одной переменной на интервале [a,b]; в списке <опции> можно указать option(1)=1 (вывод промежуточных результатов), option(2)- погрешность итераций для аргумента (разница между смежными приближениями; по умолчанию 10^-4) и option(14)- максимальное число итераций (по умолчанию 500). Используется метод золотого сечения и параболической интерполяции.

function r=m1(x)
r=x^2-x-3;
>> xm=fmin('m1',-2,3,[1, 1e-6])
Func	evals x	f(x)	Procedure
	-0.0901699	-2.9017	initial
	1.09017	-2.9017	golden
	1.81966	-1.5085	golden
	0.5	-3.25	parabolic
	0.5	-3.25	parabolic
	0.5	-3.25	parabolic
xm =
0.5000

xmin=fmins(' имя ',x0), xmin=fmins(' имя ',x0, <опции> ), xmin= fmins (' имя ', x0, <опции> или [], p1,...,p10), [xmin,options]=fmins(...) - поиск минимума функции нескольких переменных: x0 - начальное приближение; p1,...,p10 - дополнительные параметры; в списке <опции> можно указать option(1)=1 (вывод промежуточных результа-тов), option(2)- погрешность итераций для аргумента (разница между смежными приближениями; по умолчанию 10^-4), option(3)-итерационная погрешность для функции и option(14)- максимальное число итераций (по умолчанию 200 x n).

function r=m2(x)
r=(x(1)-1)^2+(x(2)-3)^2;
>> [xmin,opt]=fmins('m2',[0.5 2.5])
xmin =
1.0000	3.0000
opt =
	0.0001	0.0001	0.0000				0.0000
						0.0000	0.1000

(возвращаемые здесь опции 8 и 10 определяют минимум функции и число итераций). Используется метод Нелдера-Мида (строится симплекс из n+1 вершины в n-мерном пространстве, берется новая точка внутри или вблизи симплекса и может заменить одну из вершин; процесс повторяется до малого диаметра симплекса).

fzero(' имя ',x0), fzero(' имя ',x0,eps), fzero (' имя ', x0, eps, trace), fzero (' имя ', x0, eps, trace,p1,...,p10) - поиск действительных корней функции одной переменной при начальном приближении х0 (можно взять и в форме [a,b] при условии f(a) x f(b) < 0) с заданной относительной погрешностью; trace=1 - вывод промежуточных результатов. Используется метод дихотомии, хорд и обратной квадратической интерполяции. При поиске корней полинома см.roots.

Процесс поиска корня виден из примера:

>>> fzero('sin',6,[],1)
Func evals	x	f(x)	Procedure
		-0.279415	initial
	5.83029	-0.437567	search
	6.16971	-0.113236	search
	5.76	-0.499642	search
	6.24	-0.0431719	search
	5.66059	-0.583146	search
	6.33941	0.0561963	search
Looking for a zero in the interval [5.6606, 6.3394]
	6.27974	-0.00344052	interpolation
	6.28319	1.70244e-006	interpolation
	6.28319	-3.35667e-012	interpolation
	6.28319	-2.44921e-016	interpolation
	6.28319	2.41961e-015	interpolation
ans = 6.28318530717959
>> 2*pi
ans = 6.28318530717959

Заметим, что в случае двух переменных существенную помощь для выбора начального приближения может оказать функция gradient (cм. 8.2) и contour(...), которая будет рассмотрена при ознакомлении с функциями графики.

Дата добавления: 2014-01-05