Арифметическая и геометрическая прогрессии

Для того, чтобы надлежащим образом понимать принципы и методы вычислений, используемых в финансовой математике, необходимо знакомство с такими понятиями, как арифметиче­ская и геометрическая прогрессии.

Арифметической прогрессией называется последователь­ность чисел, в которой каждый член получается из предыдущего путем прибавления к нему одного и того же числа , называе­мого разностью этой арифметической прогрессии. Таким обра­зом, арифметическую прогрессию можно записать в виде:

, , , ….

Если , то арифметическая прогрессия называется воз­растающей, если - убывающей. Число членов арифмети­ческой прогрессии может быть ограниченным или неограничен­ным.

Приведем без доказательства две общие формулы при ис­пользовании арифметической профессии:

- формула для определения п- го члена арифметической про­грессии

(1.12)

- формула для нахождения суммы п первых членов арифме­тической прогрессии

(1.13)

Характеристическим свойством арифметической прогрессии является тот факт, что каждый ее член, начиная со второго, ра­вен среднему арифметическому его соседних членов, т.е. при п>2 справедливо

Проиллюстрируем введенное понятие.

Пример:

Господин N старается спланировать должным образом при­ближающийся выход на пенсию. Брокер по инвестиционным ценным бумагам предложил схему, согласно которой господин N платит крупную сумму фирме, а в обмен получает гарантированный ежемесячный доход в 300 тенге. Более того, каждый месяц доход будет увеличиваться на 40 тенге Какова будет ситуация через 5 лет?

В этих условиях (выражая деньги в тыс. тенге) , , (умножаем 5 лет на 12 месяцев). По формуле (1.12) находим величину дохода, который через 5 лет господин N получит за месяц:

тыс. тенге

Используя формулу (1.13), находим общий доход за 5 лет:

тыс. тенге

Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, в которой каждый член получается из предыдущего пу­тем умножения его на одно и то же число , называемое знаменателем этой геометрической прогрессии. Таким образом, геометрическую прогрессию можно записать в виде

, , , , ….

Число членов геометрической прогрессии может быть огра­ниченным или неограниченным. Также приведем без доказа­тельства две общие формулы при использовании геометриче­ской прогрессии:

формула для определения -го члена геометрической прогрессии

(1.15)

формула для нахождения суммы п первых членов геометри­ческой прогрессии

(1.16)

Характеристическим свойством геометрической прогрессии с положительными членами является тот факт, что каждый ее член, начиная со второго, равен среднему геометрическому его соседних членов, т.е. при справедливо

(1.17)

Если |, то при неограниченном возрастании числа сумма стремится к пределу

(1.18)

Это число S называется суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Пример:

Господин N, обдумывающий свой выход на пенсию, обра­тился к другому брокеру и тот предложил схему, по которой за ту же самую крупную инвестиционную сумму обеспечивается гарантированный ежемесячный доход в 300 тенге вместе с увели­чением каждый месяц этого дохода на 4%. Какова будет ситуа­ция через 5 лет?

В этих условиях , , . По формулам (1.15), (1.16) получим

тыс. тенге

тыс. тенге

На первый взгляд предложенная брокером схема менее пред­почтительна для господина N, чем в предыдущем примере. Од­нако все зависит от срока. Так, уже через 7 и 8 лет общий доход господина N будет равен: тыс. тенге и тыс. тенге. В то время как, придерживаясь первона­чальной схемы, он получит через 7 и 8 лет соответственно 164,64 тыс. тенге и 211,2 тыс. тенге, что гораздо хуже. И чем даль­ше, тем больше будет ощущаться разница в доходах, доставляе­мых разными предложенными схемами.

Дата добавления: 2014-01-05