Понятие об устойчивости

Перенос сумматора с входа звена на выход

Исходная схема имеет два входных сигнала Х ₁ и Х ₂ и один выходной сигнал Х ₄, рис. 4.15 а. Выходной сигнал связан с входными уравнением Х ₄ = K Х ₃ = K Х ₁ + K Х ₂. Эквивалентная схема должна иметь те же входные и выходной сигналы.

Чтобы в эквивалентной схеме получить тот же сигнал Х ₄, в линию входного сигнала Х ₂ следует ввести корректирующее звено с передаточной функцией K_к. Тогда сигнал Х ₄ окажется связанным с входными сигналами уравнением:

X ₁

X ₁

X ₃

X ₂

X ₄

X ₂

X ₄

Y ₁

Y ₂

K

K

K _к

Рис. 4.15 а. Система до перестановки

Рис. 4.15 б. Эквивалентная структурная схема

Сравнивая его с исходным уравнением Х ₄ = K Х ₁ + K Х ₂, приходим к заключению, что корректирующая передаточная функция K _к = K. Что и обозначено на схеме рис. 4.15 б.

Вывод: перенос сумматора с входа звена на выход, при условии сохранения входных и выходных сигналов системы, требует включения в линию второго подаваемого на сумматор сигнала звена, с передаточной функцией, одинаковой с заданной.

Пример 4.10.

Найти передаточную функцию системы, структурная схема которой изображена на рис. 4.16.

X

C ₁

C ₂

C ₄

C ₃

K ₁

K ₂

K ₇

K ₄

K ₃

K ₅

K ₆

Y

Рис. 4.16. Исходная структурная схема

Звенья с передаточными функциями K ₃ и K ₄ соединены параллельно. Сделаем первое упрощение схемы, заменив их передаточной функцией. Из схемы устраняются узел 2 и сумматор С ₄. Также переставим сумматоры С ₁ и С ₂. Схема примет вид:

C ₁

C ₂

C ₃

K ₁

K ₂

K ₇

K ₅

K ₆

W _3-4

X

Y

Обнаруживаем, что звено с передаточной функцией K ₁ охвачено положительной обратной связью через звено с передаточной функцией K ₂. Схема упрощается, если ввести передаточную функцию. Сумматор С ₁ и узел 1 устраняются. Остается:

C ₂

C ₃

K ₇

K ₆

K ₅

W _3-4

X

Y

Дальнейшее упрощение схемы связано с переносом узла 4 с выхода звена K ₅ на его вход и перестановкой с узлом 3. В ответвлении от узла 4 появляется звено K ₅, последовательно включенное со звеном K ₆.

X

C ₂

C ₃

W _3-4

K

Y

K ₆

K ₅

K ₇

Обнаруживается замкнутый контур из звеньев с передаточными функциями W _3-4, K ₅ и K ₆. Его можно заменить звеном с передаточной функцией. Сумматор С ₃ и узел 4 устраняются. Схема приобретает вид:

C ₂

X

K ₇

K ₅

Y

Выражая последний замкнутый контур звеном, приходим к схеме

X

Y

K ₅

Следовательно, передаточная функция системы, имеющей структурную схему, показанную на рис. 4.16, есть

,

или, в развернутом виде,

.

Литература

1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория автоматического управления. – СПб, изд-во «Профессия», 2004. – 752 с.

2. Егоров К.В. Основы теории автоматического регулирования. – М.: Энергия, 1967. – 648 с.

3. Макаров И.М., Менский Б.М. Линейные автоматические системы. – М.: Машиностроение, 1947. – 464 с.

4. Иващенко Н.Н. Автоматическое регулирование. Теория и элементы систем. – М.: Машиностроение, 1973. – 606 с.

Система, которая после завершения переходного процесса приходит к состоянию установившегося равновесия, называется устойчивой. В устойчивой системе регулируемая величина со временем стремится к постоянному значению.

Система называется неустойчивой, если после устранения воздействия она удаляется от состояния равновесия или совершает около него недопустимо большие колебания. В неустойчивой системе регулируемая величина со временем возрастает.

Если заранее выяснить, будет ли регулируемая величина неограниченно возрастать после воздействия, можно получить ответ на вопрос об устойчивости системы.

Характер воздействия на систему и поведение управляемой величины описывается дифференциальным уравнением. Оно было записано для разомкнутой системы в главе 2:

(2.1)

Когда воздействие на систему прекращается, правая часть обращается в ноль и дальнейшее изменение управляемой величины описывается однородным дифференциальным уравнением

. (5.1)

Решение однородного уравнения показывает, возрастает или не возрастает со временем управляемая величина. Решение ищут, полагая y (t) = e^pt. Беря производные и подставляя в уравнение (5.1) находят характеристическое уравнение

(2.7)

решая которое, получают корни p_i. Полное решение уравнения (5.1) слагается из экспонент:

(5.2)

где С_i – постоянные интегрирования.

Функция y (t) – описывает переходной процесс; он полностью определяется значением корней p_i.

Корни характеристического уравнения могут быть действительными, комплексными, мнимыми. Если корни действительные и отрицательные, каждая экспонента со временем стремится к нулю, следовательно, y (t) ® 0. По окончании переходного процесса система приходит к состоянию установившегося равновесия.

Если корни действительные и положительные, все экспоненты со временем неограниченно возрастают, y (t) ® ∞. Процесс неустойчивый, система удаляется от состояния равновесия.

Если корни комплексно-сопряженные с отрицательной действительной частью, каждая экспонента со временем стремится к нулю, имея колебательную составляющую. И в этом случае y (t) ® 0. Система, следовательно, устойчивая.

В случае комплексно-сопряженных корней с положительной действительной частью система неустойчивая.

При наличии чисто мнимых корней выходная величина совершает гармонические колебания. Мнимые корни соответствуют границе устойчивости.

Итак, система устойчива только в том случае, когда действительная часть корней характеристического уравнения отрицательная.

Для суждения об устойчивости необязательно решать дифференциальное уравнение. Как было показано в Главе 2, дифференциальному уравнению (2.1) соответствует передаточная функция

, (2.6)

где,

.

Знаменатель передаточной функции – характеристический полином. Будучи приравнен нулю, он дает характеристическое уравнение:

(5.3)

Дифференциальные уравнения (2.1), (5.1) и передаточная функция (2.6) описывают разомкнутую систему, следовательно, характеристическое уравнение (5.3) тоже относится к разомкнутой системе.

Зная передаточную функцию разомкнутой системы W (p), можно записать передаточную функцию замкнутой системы:

. (4.6)

Заменяя W (p) по формуле (2.6), получаем:

. (5.4)

Знаменатель – характеристический полином замкнутой системы.

Сравнивая формулы (5.7) и (2.6), по аналогии заключаем, что уравнение

(5.5)

представляет собой характеристическое уравнение замкнутой системы. Поделив (5.5) на D (p),получаем характеристическое уравнение замкнутой системы, выраженное через передаточную функцию разомкнутой системы:

. (5.6)

Пример 5.1.

Дано дифференциальное уравнение разомкнутой системы:

.

Найти характеристическое уравнение и его корни.

Дата добавления: 2014-01-05