Вычислительные методы

Под вычислительными методами будем понимать методы, которые используются в вычислительной математике для преобразования задач к виду, удобному для реализации на ЭВМ. Подробнее с различными классами вычислительных методов можно познакомиться, например, в [1]. Мы же рассмотрим два класса методов, используемых в нашем курсе.

1. Прямые методы. Метод решения задачи называется прямым, если он позволяет получить решение после выполнения конечного числа элементарных операций. Наименование элементарной операции здесь условно. Это может быть, например, вычисление интеграла, решение системы уравнений, вычисление значений функции и т. д. Важно то, что ее сложность существенно меньше, чем сложность основной задачи. Иногда прямые методы называют точными, имея в виду, что при отсутствии ошибок в исходных данных и при выполнении элементарных операций результат будет точным. Однако, при реализации метода на ЭВМ неизбежны ошибки округления и, как следствие, наличие вычислительной погрешности.

2. Итерационные методы. Суть итерационных методов состоит в построении последовательных приближений к решению задачи. Вначале выбирают одно или несколько начальных приближений, а затем последовательно, используя найденные ранее приближения и однотипную процедуру расчета, строят новые приближения. В результате такого итерационного процесса можно теоретически построить бесконечную последовательность приближений к решению. Если эта последовательность сходится (что бывает не всегда), то говорят, что итерационный метод сходится. Отдельный шаг итерационного процесса называется итерацией.

Практически вычисления не могут продолжаться бесконечно долго. Поэтому необходимо выбрать критерий окончания итерационного процесса. Критерий окончания связан с требуемой точностью вычислений, а именно: вычисления заканчиваются, когда погрешность приближения не превышает заданной величины.

Оценки погрешности приближения, полученные до вычислений, называют априорными оценками (от лат. a'priori – "до опыта"), а соответствующие оценки, полученные в ходе вычислений называют апостериорными оценками (от лат. a'posteriori – "после опыта").

Важной характеристикой итерационных методов является скорость сходимости метода. Говорят, что метод имеет p -ый порядок сходимости если

| x _n+1 - x ^*| = C| x _n - x ^*|^p,

где x _n и x _n+1 – последовательные приближения, полученные в ходе итерационного процесса вычислений, x ^* – точное решение, C – константа, не зависящая от n. Говорят, что метод сходится со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем q < 1, если для всех n справедлива оценка:

| x _n - x ^*| £ Cqⁿ.

Итерационный процесс называется одношаговым, если для вычисления очередного приближения x _n+1 используется только одно предыдущее приближение x _n и k –шаговым, если для вычисления x _n+1 используются k предыдущих приближений x _n-k+1, x _n-k+2, …, x _n.

Дата добавления: 2014-01-05