Середні значення в порядковій шкалі

Розглянемо методи опрацювання думок експертів, виміряних у порядковій шкалі. Для неї доведено, що із всіх середніх за Коші допустимі лише члени варіаційного ряду (порядкові статистики). Це так за умови, що середнє f (Х ₁, Х ₂, …, Х_n) – неперервна та симетрична функція, тобто після перестановки аргументів значення функції f (Х ₁, Х ₂, …, Х_n) не змінюється. Ця умова цілком природна, тому що ми знаходимо середнє для множини, а не для послідовності.

Отже, як середнє для даних, вимірюваних у порядковій шкалі, можна використовувати, зокрема, медіану (у разі непарного обсягу вибірки). Коли ж кількість елементів вибірки парна, варто застосовувати один із двох центральних членів варіаційного ряду – ліву чи праву медіану. Можна використовувати й моду, бо вона завжди є членом варіаційного ряду. Середнє ж арифметичне та середнє геометричне обчислювати недоцільно.

Приклад 3.3. Наведемо числовий приклад, що показує некоректність використання середнього арифметичного f (Х ₁, Х ₂) = (X ₁ + Х ₂)/2 у порядковій шкалі. Нехай . У цьому випадку що менше, ніж . Нехай строго зростаюче перетворення g таке, що g(1) = 1, g(6) = 6, g(8) = 8, g(11) = 99. Таких перетворень багато. Наприклад, можна покласти

У цьому випадку , що більше, ніж . Як бачимо, у результаті припустимого, тобто строго зростаючого перетворення шкали впорядкованість середніх значень змінилася.

За певних додаткових умов середнє арифметичне можна використовувати й у порядковій шкалі, якщо перейти до ймовірнісної постановки за умови наявності вибірок із достатньо великим обсягом. Про це йдеться в наступній теоремі.

Теорема 3.1. Нехай – незалежні однаково розподілені випадкові величини з функцією розподілу F (x), a – незалежні однаково розподілені випадкові величини з функцією розподілу Н (х), причому вибірки й незалежні між собою й М [ Х ⁽¹⁾] > М [ Х ⁽²⁾](де М – математичне сподівання). Для того, щоб ймовірність події

прямувала до 1 у разі min(m, n) ® ¥ для будь–якої строго зростаючої неперервної функції g, що задовольняє умову

необхідно й достатньо, щоб для всіх х виконувалася нерівність F (x) £ Н (х) та існувало число х ₀, для якого F (x ₀) < Н (х ₀).

Отже, відповідно до теореми 3.1 середнім арифметичним можна користуватися й у порядковій шкалі, порівнюючи вибірки з двох розподілів, що задовольняють наведену в теоремі умову, тобто одна з функцій розподілу завжди має розташовуватися «над» іншою. Функції розподілу не можуть перетинатися. Цю умову виконано, наприклад, якщо функції розподілу відрізняються лише зсувом, тобто F (x) = Н (х + b) для деякого сталого b. Остання умова виконується, якщо два значення певної величини виміряно за допомогою одного й того самого засобу вимірювання, за якого розподіл похибок не змінюється з переходом від одного вимірювання розглянутої величини до іншого.

Дата добавления: 2014-01-05