КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Поняття про ймовірнісну оцінку похибки. Обчислення без точного врахування похибок
Наближене число а може відхилятися від точного числа а* в той чи інший бік на певну величину. Тому наближене число можна розглядати як випадкову величину з математичним сподіванням. М [а] = а*. Сама похибка Δа = а * — а також є випадковою величиною з математичним сподіванням, що дорівнює нулю, М [Δа] = 0. Розглянемо суму наближених чисел а — ах + а2 + • • • • • • + ап. Гранична абсолютна похибка суми є Аа = Аа, + + ла? +...+ &0п. Вважатимемо, що випадкові величини Аа%, Ааг Аа мають один і той самий нормальний розподіл імовірностей з математичним сподіванням, що дорівнює нулю, і середнім квадратичним відхиленням о. Тоді, як відомо з курсу теорії імовірностей, математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі їх математичних сподівань, тобто М [Аа] = 0. Дисперсія суми незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин, тобто О [Аа] = О [Аа,] + 4- £> [Ааг] +... + /) [Ай 1 = «02 (нагадаємо, що за означенням середн є квад ратичне відхилення а [X] випадкової величини X є У В [X], де Б [X] — дисперсія випадкової величини X), а тому о[Аа] — о Уп. Сума незалежних випадкових величин з нормальним розподілом імовірностей також має нормальний розподіл імовірностей. Як відомо, випадкова величина з нормальним розподілом імовірностей з імовірністю 0,997 відхиляється в той чи інший бік від свого математичного сподівання не більш як на три середніх квадратичних відхилення. Отже, якщо практично | А,, | < За (Р (| Аа. |< За) ж 0,997 «1), то | Аа | < За УК. Таким чином, абсолютна похибка суми _наближених чисел «! + а2 + • • • + ап пропорційна числу Уп, а не числу п, як це випливало з формули (3.2). Це пояснюється тим, що практично похибки різних чисел можуть частково «гасити» одна одну, в той час як формула (3.2) передбачає, так би мовити, крайній випадок.
Аналогічно приходимо до висновку, що й відносна похибка добутку наближених чисел аи а2,..., ап зростає пропорційно числу У п, а не числу п. Точний підрахунок похибок результатів обчислень наближених чисел досить громіздкий. Тому здебільшого на практиці точно не враховують похибок, а користуються правилами підрахунку цифр за В. М. Брадісом: 1, При додаванні і відніманні наближених чисел молод 2. При множенні і діленні наближених чисел у результа 3. При піднесенні до квадрата або до куба в результаті треба зберегти стільки значущих цифр, скільки їх має число, яке підносять до степеня. 4. При добуванні кореня в результаті слід брати стільки значущих цифр, скільки їх у підкореневому виразі. 5. При обчисленні проміжних результатів потрібно брати на одну — дві цифри більше, ніж рекомендують попередні правила. 6. Якщо дані можна брати з довільною точністю, то, щоб знайти результат з к правильними цифрами, дані треба брати з такою кількістю цифр, яка забезпечує к + 1 правильну цифру в результаті, відповідно до правил 1 — 4. 7. При обчисленнях одночленних виразів за допомогою логарифмів слід підрахувати кількість значущих цифр у тому наближеному даному, яке має їх найменше, і взяти таблицю логарифмів з кількістю знаків, на одиницю більшою. У кінцевому результаті остання цифра відкидається. Примітка. В основу цих правил покладено принцип академіка О. М. Крилова — основний принцип звичайних обчислень, тобто обчислень без строгого врахування похибок: Наближене число слід писати так, щоб у ньому всі цифри, крім останньої, були правильними і лише остання була сумнівною, притому не більш як на одну одиницю.
§ 5. Обернена задача теорії похибок Досить часто доводиться розв'язувати таку задачу: визначити допустимі похибки аргументів хх, х2,..., хп так, щоб гранична абсолютна похибка функції у не перевищувала заданої величини Ау. Користуючись формулою (3.2), помічаємо, що ця задача не визначена, оскільки, по-різному вибравши значення Ах., можна дістати одне й те саме значення Ау. Отже, задачу можна розв'язувати кількома способами. 1. Доберемо Ах. так, щоб в (3.2) всі величини 1-^~- Ах були рівними між собою (принцип рівних впливів). і А,
Тоді, очевидно, \-§г, -, п _ дхі 2. Поклавши, що всі Ах. рівні між собою, дістанемо: д[ дхі а.. вважаючи всі відносні похибки аргументів рівними між собою л-1 ■—г л% __________ п о
І *і І І ч І ~ "' ~~ І хп І ~~ та підставляючи в (3.2) вирази для Ах„ дістанемо: х,
дхі Визначивши б, для Ах. матимемо:
їй.- дхі
Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 676; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |