Математические основы исследования статической устойчивости

Электрическая система при изучении переходных процессов описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений. Однако изучение нелинейных систем представляет собой весьма трудную задачу, не имеющую универсальных методов решения. Поэтому при исследовании статической устойчивости нелинейную систему дифференциальных уравнений стремятся свести к хорошо изученной линейной системе с постоянными коэффициентами.

Это возможно при следующих условиях:

1. Возмущающие силы малы по величине.

2. Рассматриваются лишь небольшие отклонения переменных характеризующих состояние системы, от их установившихся значений. При необходимости приходится сокращать промежуток времени, на котором система рассматривается как линейная.

Этот метод изучения статической устойчивости называется устойчивостью в малом или методом малых отклонений (малых колебаний).

Преобразование нелинейных дифференциальных уравнений в линейные заключается в том, что нелинейные функции входящие в коэффициенты исходной системы уравнений, линеаризуют в точке, соответствующей состоянию равновесия. Эта процедура состоит из разложения нелинейной функции в ряд Тейлора и оставления только линейных членов этого ряда. Этот прием называется линеаризацией по первому приближению.

Коэффициенты линеаризованных дифференциальных уравнений включают в себя частные производные взятые в точке исходного режима. Таким образом, эти коэффициенты зависят от исходного режима, что и отражает свойства действительной нелинейной системы, подлежащей исследованию (естественно, при исследовании устойчивости при заданных параметрах установившегося режима эти коэффициенты считаются постоянными).

При оценке статистической устойчивости необходимо иметь в виду следующие строгие положения:

1. Отклонение системы от состояния равновесия под действием возмущающих сил происходит на промежутке времени

2. В момент времени (обычно ) действие возмущающих сил прекращается и далее имеет место переходный процесс, обусловленный начальными возмущениями.

Таким образом, решение задачи заключается лишь в определении характера изменения свободных составляющих параметров режима, которые обусловлены только внутренними свойствами исследуемой системы и не зависят от значения, места приложения и длительности действия возмущающих сил. Это обстоятельство учитывается при составлении исходной системы дифференциальных уравне­ний, из которых в силу сделанных допущений исключаются внешние силы.

Решение системы линейных дифференциальных уравнений достигается путем применения преобразования Лапласа.

В результате этого преобразования получаем систему линейных алгебраических уравнений.

Определитель этой системы D(p) называется характеристическим определителем. Приравнивая D(р) к нулю, получаем характеристическое уравнение:

D(p) = (63)

где a_m – коэффициент;

p – оператор

m – индекс, характеризующий порядок данного члена в характеристическом уравнении;

n – степень характеристического уравнения.

Найдя значения корней уравнения (63), легко построить изменения x_i во времени и таким образом получить ответ о наличии устойчивости.

При высокой степени характеристического уравнения отыскание его корней является трудоемкой операцией. Поэтому её обычно заменяют операцией отыскания закономерностей, связывающих корни с коэффициентами характеристического уравнения или с некоторыми функциями от коэффициентов. Такие закономерности называются критериями устойчивости.

Критерии устойчивости, не требующие вычисления корней, подразделяются на алгебраические и частотные. К алгебраическим относятся критерии Рауса, Гурвица и Льенара-Шипара, к частотным – метод D-разбиения, критерий Михай-

лова и критерий Найквиста.

Для анализа устойчивости электрических систем наиболее часто применяются

критерий Гурвица и метод D-разбиения.

Дата добавления: 2014-01-06