Случайные события. Статистическое определение вероятности, как показывает само название, базируется на статистических материалах

Статистическое определение вероятности, как показывает само название, базируется на статистических материалах. Наблюдая какое-либо случайное событие или осуществляя соответствующие испытания, можно определить относительную частоту возникновения данного события. При достаточно большом числе наблюдений или испытаний относительная частота возникновения события колеблется около некоторой постоянной величины, называемой статистической вероятностью данного случайного события.

Таким образом, вероятность случайного события вскрывается только на основе статистических материалов. При отсутствии таких материалов, а также при малом числе испытаний или наблюдений определить статистическую вероятность случайного события не представляется возможным.

Два случайных события называются независимыми, если наступление одного из них не влияет на вероятность наступления другого, и зависимыми – в обратном случае. События А и В называются несовместными, если появление одного из них исключает появление второго, в противном случае они являются совместными.

Два события A и называются противоположными или взаимно дополнительными, если непоявление одного из них в результате данного испытания влечет появление другого (читается не “A”).

Обычно в энергетике приходится изучать вероятности не простых случайных событий, а сложных событий, являющихся комбинацией ряда простых (элементарных). Определение вероятности сложного события через известные значения простых событий производится исходя из законов вероятности сложных событий.

Для независимых случайных событий эти законы могут быть сформулированы следующим образом:

1. Вероятность возникновения хотя бы одного из двух случайных независимых и несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий. Возникновение одного из двух случайных событий А и В символически обозначается их суммой А + В:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В).

2. Вероятность одновременного возникновения двух несовместных событий А и В равна нулю. Одновременное появление двух событий А и В символически обозначается АВ.

В данном случае Р(АВ) = 0.

3. Вероятность одновременного возникновения двух независимых и совместных событий равна произведению их вероятностей:

Р(АВ) = Р(А)×Р(В).

4. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Р() + Р(А) = 1.

Вероятность противоположного события

Р() = 1- Р(А).

Рассмотрим применение указанных законов в энергетике. При большом числе

агрегатов электростанций и элементов сети повреждение одних устройств может сочетаться с повреждением других. Возникает задача определения вероятности одновременного повреждения двух, трех и более устройств (агрегатов) или элементов сети.

В ряде случаев необходимо определять вероятность того, что никаких повреждений в энергосистеме нет, так как эта величина характеризует надежность работы всего оборудования. Такие задачи возникают обычно при необходимости выбора оптимального решения, связанного или с надежностью работы энергосистемы (выбор оптимального резерва мощности), или с надежностью питания отдельных потребителей (выбор оптимальной схемы электроснабжения), или устойчивости системы (выбор оптимального уровня устойчивости).

Во всех этих случаях отдельные повреждения рассматриваются как независимые и совместные случайные события. Вероятность каждого из них может быть определена как статическая вероятность, полученная на основе длительного наблюдения над аварийностью однотипного обору­дования.

Пример 8. Определить вероятность повреждения энергетического блока, состо­ящего из парового котла с паровой турбиной и электрического генератора. Паровая турбина получает весь пар от котла. Генератор расположен на одном валу с турбиной. Вероятности повреждения отдельных элементов блока известны: q_к = 0,02; q_т = 0,01; q_г = 0,001 для котла, турбины и генератора соответственно.

Очевидно, что аварийный выход из работы всего блока может иметь место при повреждении хотя бы одного из указанных элементов блока. Так как исправное состояние является случайным событием, противоположным повреждению, то вероятности исправного состояния элементов блока будут иметь следующие значения:

р_к = 1- 0,02 = 0,98; р_т = 1- 0,01 = 0,99; р_г = 1- 0,001 = 0,999.

Найдем вероятность того, что все элементы блока не повреждены, т.е. блок работает исправно. Так как аварийность каждого элемента можно считать независимой от других элементов, то вероятность того, что все три элементы не повреждены, т.е. вероятность нормального состояния блока

р_бл = р_к ×р_т×р_г = 0,98×0,99×0,999 = 0,9692.

Повреждение блока по любой причине является событием, противоположным по отношению к исправному состоянию блока. Поэтому вероятность повреждения блока

q_бл = 1- р_бл = 1- 0,9692 = 0,0308

Рассмотрим вероятности зависимых случайных событий. Пусть события А и В являются зависимыми, т.е. вероятность одного из этих событий изменяется, если происходит другое событие. Для оценки этого вводится понятие условной вероятности.

Условной вероятностью события А по В называется вероятность события А, если происходит событие В. Она обозначается Р(А/В).

Основные законы для взаимосвязанных случайных событий формулируются следующим образом:

1. Условная вероятность события А по В равна отношению вероятности одновременного возникновения событий А и В к вероятности события В:

Р(А/В) = Р(АВ) / Р(В)

Вероятность Р(АВ) в этом случае не равна произведению Р(А)×Р(В)

2. Вероятность одновременного наступления двух взаимозависимых и совместных событий, как это следует из (67), равна произведению условной вероятности первого события по второму на вероятность второго события:

Р(АВ) = Р(А/В)×Р(В).

Взаимозависимыми событиями в электроэнергетике являются, например, повреждения отдельных фаз линии электропередачи. При повреждении одной фазы в сети с изолированной нейтралью напряжение других фаз возрастает в раз, что увеличивает вероятность повреждения других фаз. Но даже в сети с глухо заземленной нейтралью, где повышения напряжения на других фазах не происходит, ионизация воздуха, вызванная однофазным замыканием, способствует перекрытию других фаз. Если исходное повреждение одной фазы является независимым событием, то одновременное повреждение других фаз в том же месте является зависимым случайным событием.

Дата добавления: 2014-01-06