Нормальное распределение. Нормальное распределение относится к числу наиболее распространенных и важных

Нормальное распределение относится к числу наиболее распространенных и важных. Это распределение дает хорошее приближение для многих практических слу­чаев. Основным условием, достаточным для того, чтобы нормальное распределение имело место, является возможность рассмотрения признака как суммы большого числа взаимно независимых переменных. Таким образом, чтобы найденное эмпирическим путем распределение соответствовало нормальному, необходимо, чтобы вся рассматриваемая совокупность случайных явлений была многочисленна и для всей совокупности соблюдались одинаковые условия.

Случайная величина Х распределена по нормальному закону, если ее плотность распределения задается формулой:

f(x) = exp),

где - математическое ожидание (среднее значение) случайной величины Х,

- среднее квадратическое отклонение.

График функции f(x) симметричен относительно точки a (рис. 23). При этом в точке a функция f(x) достигает своего максимума.

Параметр a характеризует положение графика функции на числовой оси.

Параметр s характеризует форму кривой распределения. При увеличении s кривая распределения становится более плоской, растягиваясь вдоль оси абсцисс, при уменьшении s -вытягивается вверх.

Размерность параметра s, естественно, совпадает с размерностью случайной величины X.

В некоторых случаях в качестве характеристики рассеивания для нормального закона вместо s применяется так называемая мера точности. Мерой точности называется величина, обратно пропорциональная среднему квадратическому отклонению:

.

Термин “мера точности” заимствован из теории ошибок измерений: чем точнее измерение, тем больше мера точности.

	f(x)

a

3s

3s

s

s

x

Рисунок 23 – Плотность нормального распределения

Кривая нормального распределения называют также нормальной кривой. Как следует из рисунка 23, эта кривая симметрична относительно ее математического ожидания.

Если случайная величина имеет нормальное распределение, то ее отклонение от математического ожидания практически (с вероятностью 0,9973) не превышает 3s. Это свойство нормального распределения получило наименование правила “трех сигм”. Это позволяет, зная среднее квадратическое отклонение и математическое ожидание случайной величины, ориентировочно указать интервал ее практически возможных значений.

Дата добавления: 2014-01-06