Анализ спектра дискретного сигнала

Дискретный сигнал можно представить как некоторую функцию f[n], состоящую из некоторой последовательности действительных или комплексных чисел, определенную при всех целочисленных значениях n.

Непрерывная функция времени f(t), дискретизуемая с равномерным интервалом Т секунд, или непрерывная пространственная функция g(S), дискретизуемая с равномерным интервалом S метров, будут порождать соответственно дискретные последовательности f[n]=f(nT) и g[n]=g(nS). Для формирования цифровых отсчетов сигналов (квантования) применяются аналого-цифровые преобразователи (АЦП).

Выше было рассмотрено преобразование Фурье для непрерывных функций:

,

где f-частота;

t- время.

В технической литературе также рассматриваются преобразования Фурье для дискретного сигнала. Пара преобразований для обычного определения дискретного преобразования Фурье N- точечной временной последовательности x[n] и соответствующей ей N-точечной последовательности преобразования Фурье X[k] описывается выражениями:

;

.

Наиболее часто употребляется пара дискретно-временных рядов Фурье, определенных для 0£k£N-1 с явной зависимостью от интервала отсчетов Т:

;

.

Дискретно-временные ряды Фурье можно рассматривать как некоторую аппроксимацию непрерывных временных преобразований Фурье.

Для дискретно-временной последовательности x[n] и непрерывного периодического по частоте спектра X[f] можно записать следующую пару преобразований Фурье:

;

,

где ;

N=0, ±1, ±2, …, ±µ.

При этом, выражение для X(f) определяет некоторую периодическую функцию, непрерывно изменяющуюся по частоте.

Множитель необходим для обеспечения корректности масштабов при вычислении энергии и мощности. Также при введении и Т в выражение становится истинным следующее приближенное равенство:

.

То есть выражения для дискретных последовательностей в действительности являются аппроксимацией интеграла преобразования в области интегрирования.

По аналогии с анализом непрерывных сигналов можно используя теорему о энергии сигнала записать выражение для спектральной плотности энергии дискретно-временного преобразования Фурье:

.

Это выражение определяет непрерывную функцию частоты. Мощность равна энергии, отнесенной к единице времени, поэтому поделив спектральную плотность энергии на NT получим спектральную плотность мощности (СПМ):

.

В теории обычно используют термин интервал дискретных отсчетов по частоте в герцах .

На основании вышесказанного в литературе описывается методика классического спектрального анализа, основанного на оценке СПЭ и СПМ на основе функции автокорреляции.

Методика анализа дискретно-временного сигнала:

1. Оценка автокорреляционной функции.

Автокорреляционная последовательность r_xx[m] эргодического процесса определяется как предел среднего по времени:

.

На практике эта последовательность неизвестна, и поэтому должно оцениваться по имеющейся конечной записи данных.

Если имеется N отсчетов данных x[n], n=0, 1,…, N-1, то получаем следующее выражение для дискретно-временной оценки автокорреляции:

,

где m- временной сдвиг.

Выражение применимо только при положительных значениях индекса временного сдвига 0£m£N-1 (сдвиги равны mT секундам). Автокорреляционные оценки при временных сдвигах, больших (N-1)T, невозможны из=за конечности записи имеющихся данных. При отрицательных значениях корреляционного сдвига -(N-1)£ m£0 выражение модифицируется в:

.

При нулевом временном сдвиге обе оценки автокорреляции имеют одинаковые значения:

.

Эта величина характеризует полную мощность измеряемого сигнала.

Поскольку при больших временных сдвигах усреднение возможно лишь по большому числу отсчетов данных, то с увеличением значения индекса временного сдвига m статистическая неопределенность оценки автокорреляции возрастает.

При увеличении N значение дисперсии стремится к нулю, и тогда оценка является статистически состоятельной оценкой дискретно-временной автокорреляционной последовательности.

2. Расчет СПМ.

По аналогии с анализом непрерывных сигналов, СПМ для дискретных сигналов представляет собой дискретно-временное преобразование Фурье автокорреляционной последовательности:

.

Коррелограммный метод оценивания СПМ – это просто подстановка в последнее выражение конечной последовательности значений оценки автокорреляции (коррелограммы) вместо бесконечной последовательности неизвестных истинных значений автокорреляции.

Например, оценка СПМ будет иметь вид:

.

Оценка справедлива для .

Максимальный индекс временного сдвига L как правило, много меньше числа отсчетов данных N.

Если необходимо, чтобы не площадь под кривой оценки СПМ была пропорциональна мощности истинной СПМ, а пики этой оценки были пропорциональны мощности импульсов в спектре, то выражение СПМ следует промасштабировать величиной .

Коррелограммный метод оценивания взаимной спектральной плотности мощности имеет вид:

,

где w[m]- функция, задающая корреляционное окно.

Существует еще один, относящийся к классическим, способ оценки СПМ для дискретных данных:

, или

.

В заключение можно отметить, что при анализе реальных сигналов необходимо учитывать следующие соотношения между параметрами сигнала.

При расчете корреляционной и спектральной функций для сигналов различной формы следует учитывать следующие параметры сигнала:

— U_m- амплитудное значение;

— Среднее значение сигнала за период:

;

— Переменная составляющая сигнала – разность между мгновенным значением и U₀:

;

— Среднеквадратическое значение сигнала за период:

;

— Для синусоидального сигнала – действующее (эффективное) значение сигнала:

;

— Коэффициент амплитуды:

;

для синусоидального сигнала:

;

— Коэффициент формы:

;

для синусоидального сигнала:

;

;

в случае спектра имеем по спектральной плотности:

;

тогда чтобы получить амплитуду, надо:

.

— Мощность потребления нагрузки R в цепи постоянного тока:

;

— В цепях переменного тока:

;

— Среднее значение мощности за период называется мощностью или активной мощностью:

;

в цепях переменного тока:

;

,

где I, U – среднеквадратические значения напряжения и тока в цепи.

Дата добавления: 2014-01-06