Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Обоснование алгоритма




Алгоритм построения минимального каркаса

Пусть G (X, E) - связный нагруженный граф с p вершинами.

Шаг 1°. В качестве первого ребра искомого минимального каркаса выбираем ребро e 1 с наименьшим весом m(e 1). Если таких ребер несколько, то берем любое из них.

Шаг 2°. В качестве второго ребра берем ребро e 2 из множества E\ { e 1}, имеющее наименьший вес m(e 2), и такое, что множество { e 1, e 2} не содержит простых циклов. Если таких ребер несколько, то берем любое из них.

Шаг 3°. В качестве третьего ребра выбираем такое ребро e 3 из множества E\ { e 1, e 2}, которое имеет наименьший вес m(e 2) и для которого множество { e 1, e 2, e 3} не содержит простых циклов. Если таких ребер несколько, берем любое из них.

Указанный процесс повторяется и через некоторое число k шагов дает множество E = { e 1, e 2, …, ek }, к которому нельзя добавить ребро без появления цикла. Подграф G 1(X, E 1) и является минимальным каркасом графа G (X, E).

 

 

В силу свойства 6° из теоремы 6.1 построенный подграф G 1(X, E 1) является деревом, поэтому k = p –1. Доказательство минимальности каркаса G 1(X, E 1) разобьем на два этапа. Пусть сначала G (X, E) – полный граф, у которого веса всех ребер различны, и пусть G 2(X, E 2) – минимальный каркас графа G. Если E 2 ¹ E 1, то рассмотрим el – первое из ребер множества E 1, не принадлежащее E 2. В графе в силу свойства 6° теоремы 6.1 существует единственный простой цикл m. Цикл m содержит ребро e 0Ï E 1. Граф G 3(X, E 3), где , не содержит циклов и имеет n – 1 ребро, поэтому он является деревом. Множество { e 1, e 2, …, el -1, e 0} содержится в E 2 и поэтому не содержит циклов. Тогда в силу рассмотренного выше алгоритма m(e 0) > m(e l). Отсюда следует, что суммарный вес дерева G 3(X, E 3) меньше веса дерева G 2(X, E 2). Это противоречит минимальности каркаса G 2, поэтому E 2 = E 1 и G 1(X, E 1) – единственный минимальный каркас графа G.

Пусть теперь G (X, E) – произвольный нагруженный связный граф. Если m(e 1) = m(e 2), то сделаем замену

m(e 1) ® m'(e 1) = m(e 1) + e,

m(e 2) ® m'(e 2) = m(e 2) + 2e,

взяв такое e, чтобы сохранились соотношения весов m(e 1) и m(e 2) с другими весами. Сделаем граф G полным, добавив такие ребра di, что . В полученном графе единственным минимальным каркасом будет каркас, полученный с помощью рассмотренного алгоритма. Легко видеть, что этот каркас будет минимальным и в исходном графе G (X, E).

На рис. 6.4 изображены нагруженный граф G и его минимальный каркас G 1.

 

 

Рис. 6.4

 

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 409; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.009 сек.