Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Def.32 Морфизм М есть обобщение понятия бинарного соответствия между множествами на составляемые алгебраические системы




Булева алгебра.

Def 31. Совокупность подмножеств X, Y, Z, … некоторое множество М, имеющее наименьшее подмножество (нулевой элемент) О и наибольшее подмножество (наибольший элемент) 1, с тремя алгебраическими операциями f12 (аддитивная операция), и f22 (мультипликативная операция) удовлетворяющие аксиомам:

-коммутативности (для f12 и f22)

-ассоциативности (для f12 и f22)

-дистрибутивности (для f12 относительно f22 и f22 относительно f12)

-поглощения (для f12 относительно f22 и f22 относительно f12)

-комплементарности (f12 относительно f22, f1 и f22 относительно f22, f1)

называемая булевой алгеброй < М,f12 , f22, f1> .

Замечание.

1) Интерпретируя в < М,f12 , f22, f1> операции как объединение, пересечение, дополнение, а элементы основного множества М – как его подмножества, получаем алгебру множеств < R (M),Ç,È,- >.

2)В математической логике элементы булевой алгебры интерпретируются как высказывания, а операции – соответственно как дизъюнкции, конъюнкции и отрицания.

Морфизмы алгебраических систем.

М = < A 1,A 2,m >

При этом сопоставляться могут только совместимые (т. е. однотипные по операциям и отношениям) системы, в которых мощности их основных множеств могут быть различными.

 

 

Классификация морфизмов.

Пояснения:

Гомоморфизм - отображение, сохраняющее базовые операции на сопоставляемых множествах.

Def 33. Гомоморфизмом алгебраической системы< M1,O1,R1> в однотипную ей систему< M2,O2,R2> называется отображение Г: А1® А2, удовлетворяющее условиям:

1.Г(fin< a1,а2,а3,…,аni>)= fin (Г(а1),Г(а2),…,Г(аni))

2. < a1,а2,а3,…,аn> Î rjÞ ((а1),Г(а2),…,Г(аm))Î rj1

здесь a1,а2,а3,…,аni Î М1; Г(а1),Г(а2),…,Г(аni) Î М2;

finÎ O1, finÎ O2; rjÎ R1; rj1 Î R2.

Пример: Гомоморфизм группы d 1 в группу d 2 есть такое отображение Гf, при котором каждому элементу аÎ d 1 поставлен в соответствие определенный элемент Гf (а) Î d 2.При этом произведению двух элементов из d 1 соответствует произведение их образов, т.е. Гf i* аj )= Гf i )*. Гf j )

Пример: Гомоморфизмом является сопоставление двух алгебр< Д,*>, < Д,+> путем логарифмирования элементов первой алгебры, т. е.

М = < < Д,*>, < Д,+>,lg>. В этом случае операция умножения преобразовывается в первой системе отображается в операцию суммирования образов, в операцию во второй (напомним что это две однотипные алгебры их тип 2).

Поскольку гомоморфизм есть отображение, то он может быть сюръекцией, инъекцией, биекцией и в качестве таковых называется соответственно эпиморфизмом, мономорфизмом и изоморфизмом. При этом, если А1=А2, то гомоморфизм есть эндоморфизм и изоморфизм алгебраической системы самой себе в таком случае называется автоморфизмом (автоморфизм является тождественным отображением, называется триепарным)

Пояснения.:

1)термин "гомоморфизм " (надобная структура) есть экспликация интуитивно ясных понятий "подобие" и "сходство" структур сопоставляемых систем.

2)любая область человеческих знаний исследует свои объекты как гомоморфные или алгебраические системы.

3)рассматривая алгебраическую операцию как частный случай отношения, можно дать графическую интерпретацию гомоморфизма в виде отображения реляционной системы в подобную ей.

4)очевидно, что изоморфизм (взаимно однозначный гомоморфизм) алгебраических систем означает, что как первая система (оригинал) может служить моделью второй, так и вторая система может быть моделью первой.

Именно в этом плане понятие "трансляция данных" в ВТ есть изоморфизм исходной системы данных в другую (рабочую) систему данных с аналогичными отношениями.

5)реальный (исследуемый) объект имеет мн-во гомоморфных ему моделей (которые, в свою очередь, могут быть гомоморфными системами между собой).

6)примерами интерпретаций гомоморфизмов алгебраических систем могут быть объекты различной природы:

-человек и его фотография;

-объект и понятие о нем;

-стихотворение на языке авторов и перевод стиха на другом языке;

-местность и его карта;

-изделие и его чертеж;

-речь и ее запись на магнитной ленте;

-движение планет и система дифференциальных уравнений, описывающих движение планет.

7)для алгебр изоморфизм- это гомоморфизм, являющаяся биекцией. В графической интерпретации морфизма алгебр широко пользуются коммутацией диаграмм:

Смысл приведенной диаграмм следующий:

-если существует гомоморфизм между А1= < М1,fin > и А2= < М2,fin >, что образ < Гf(М1),fin> гомоморфизма ведет себя подобно прообразу < М1,fin >, т. е. Можно выполнить операцию fin на М1 отобразить результат в А2 посредством Гf, или сначала отобразить элементы множества М1 в элементы множества М2, а затем выполнить операцию fjn . В обоих случаях результат будет один и тот же.

8)Граф 1 является гомоморфным образом графа 2

Гомоморфизм в этом случае сохраняет отношение инцидентности согласно отображению:

Г: V®V

V®V

V®V

и при этом ‹V,V› ®‹V, V

‹ V,V› ®‹ V,V

‹ V, V› ®‹ V, V

9) Графы

являются изоморфными (неполным, изоморфизм является частным случаем гомоморфизма, когда последний обратим).

10) Автоморфизм, как частный случай изоморфизма системы в себя, может быть интерпретирован подстановками

x x x x x x x x x x

x x x x x, x x x x x

Сами эти записи изоморфны графу

Замечание: Изоморфизм, для которого существует обратный, называется автоморфизмом.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 1603; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.022 сек.