КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Система базисных функций
Сущность задач анализа реальных сигналов состоит в том, чтобы эти сигналы представить в виде совокупности простых элементарных сигналов, удобных для анализа. Реальный сигнал может быть представлен в виде суммы ортогональных составляющих (элементарных сигналов) [10] (1.1) при t принадлежащемотрезку ортогональности [t1,t2]. Формула (1.1) называется разложением сигнала по системе базисных функций yk(t). Коэффициенты ak называются спектром разложения сигнала в ряд базисных функций. К системе базисных функций предъявляются следующие требования: - для любого сигнала ряд (1.1) должен сходиться; - yk(t) должно иметь простую аналитическую форму; - ak должны вычисляться аналитически просто. Условие ортогональности базисных функций имеет вид , (1.2) где число ci называют нормой базисной функции yi(t). Каждую базисную функцию можно нормировать по ее норме, причем нормированная функция имеет вид . Система (1.2.) примет вид (1.3.) где dij - символ Кронекера. Для определения ak умножим правую и левую части уравнения (1.1) на yk(t) и проинтегрируем обе части на отрезке ортогональности: . При k=i правый интеграл равен единице, тогда . (1.4) Ортогональное разложение (1.1) называется обобщенным рядом Фурье, а коэффициенты ak - обобщенными коэффициентами Фурье. Набор чисел {ak} называется спектрами сигнала. Пример ортонормированных базисных функций – базис тригонометрического ряда Фурье на отрезке [-p,p] . Аппроксимируем произвольную функцию x(t) линейной комбинацией n ортогональных функций . Определим постоянные ai, при которых среднеквадратическая величина s функции xl(t)®min, где или . (1.5) Из (1.5) следует, что s есть функция от ai и для ее минимизации необходимо принять . Так как t2-t1ºconst, из (1.5) получим
(1.6) Если возвести в квадрат выражение в квадратных скобках под знаком интеграла, то в силу ортогональности все слагаемые вида , т.е. производная всех слагаемых, не содержащих ai, равна нулю, и тогда , , . В формуле (1.6) останется два слагаемых . Изменив порядок интегрирования и дифференцирования, получим . (1.7) Если ai выбирать по формуле (1.7), то , Из формулы (1.7) следует, что , тогда определим s .
Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 777; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |