Свойства отношений. Отношения обладают свойствами

Отношения обладают свойствами. Свойств достаточно много, но рассмотрим только некоторые.

Определение 1. Отношение R на множестве Х называется рефлексивным, если о каждом элементе множества Х можно сказать, что он находится в отношении R c самим собой.

Если отношение R рефлексивно на множестве Х, то в каждой вершине графа данного отношения имеется петля. Справедливо и обратное утверждение.

Примеры рефлексивных отношений:

1) отношение «равенства» на множестве натуральных чисел,

2) отношение «кратно» на множестве натуральных чисел,

3) отношение «подобия» треугольников.

Существуют отношения, которые свойством рефлексивности не обладают.

Например, отношение перпендикулярности на множестве отрезков, отношение «длиннее» на множестве отрезков.

Определение 2. Отношение R на множестве X называется симметричным, если выполняется условие: из того, что элемент х находится в отношении R с элементом y, следует, что и элемент y находится в отношении R с элементом х.

Примеры симметричных отношений:

1) отношение перпендикулярности на множестве отрезков,

2) отношение равенства на множестве отрезков,

3) отношение параллельности на множестве прямых,

4) отношение «подобия» треугольников.

Граф симметричного отношения обладает особенностью: вместе с каждой стрелкой, идущей от х к y, граф содержит и стрелку, идущую от у к х. Справедливо и обратное утверждение.

Существуют отношения, которые свойством симметричности не обладают. Например, отношение «длиннее» на множестве отрезков.

Определение 3. Отношение R на множестве Х называется антисимметричным, если для различных элементов х и у из множества Х выполнено условие: из того, что х находится в отношении R с элементом у, следует, что элемент у в отношении R с элементом х не находится.

Примеры антисимметричных отношений:

1) отношение «длиннее» на множестве отрезков,

2) отношение «больше» для чисел,

3) отношение «больше на 2» для чисел.

Граф антисимметричного отношения обладает особенностью: если две вершины графа соединены стрелкой, то эта стрелка одна. Справедливо и обратное утверждение.

Существуют отношения, не обладающие ни свойством симметричности, ни свойством антисимметричности. Например, отношение «быть сестрой» на множестве детей одной семьи. Пусть в семье трое детей: Катя, Маша и Толя.

Задание! Постройте граф данного отношения и проанализируйте его с точки зрения выполнимости свойств симметричности и антисимметричности.

Определение 4. Отношение R на множестве Х называется транзитивным, если выполняется условие: из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у и элемент у находится в отношении R с элементом z, следует, что элемент х находится в отношении R с элементом z.

Примеры транзитивных отношений:

1) отношение «длиннее» на множестве отрезков,

2) отношение равенства на множестве отрезков или на множестве чисел.

Граф транзитивного отношения с каждой парой стрелок, идущих от х к у и у к z, содержит стрелку, идущую от х к z. Справедливо и обратное утверждение.

Существуют отношения, не обладающие свойством транзитивности. Например, отношение перпендикулярности на множестве прямых.

Определение 5. Отношение R на множестве X называется связанным, если для любых элементов х и у из множества X, выполняется условие: из того, что х и у различны, следует, что либо х находится в отношении R с элементом у, либо элемент у находится в отношении R с элементом х.

Например, свойством связанности обладает отношение «больше» на множестве натуральных чисел.

На графе связанного отношения любые две вершины соединены стрелкой.

Существуют отношения, которые свойством связанности не обладают. Например, отношение делимости на множестве натуральных чисел.

Дата добавления: 2014-01-06