Полная вероятность. Формула Бейеса

Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В₁, В₂, …, В _п, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

Р(А)= Р(В₁)Р_В1(А)+Р(В₂)Р_В2(А)+…+Р(В_п)Р_Вп(А)

Эту формулу называют формулой полной вероятности.

Пример. В первой коробке содержится 20 кубиков, из них 18 красных; во второй коробке – 10 кубиков, из них 9 красных. Из второй коробки наудачу взят кубик и переложен в первую. Найти вероятность того, что кубик, наудачу извлеченный из первой коробки, будет красным.

Решение. Обозначим через А событие «из первой коробки извлечен красный кубик». Из второй коробки может быть извлечен либо красный кубик (событие В₁), либо не красный (событие В₂). Вероятность того, что из второй коробки извлечен красный кубик Р(В₁)=. Вероятность того, что из второй коробки извлечен не красный кубик Р(В₂)=. Условная вероятность того, что из первой коробки извлечен красный кубик, при условии, что из второй коробки в первую был переложен красный кубик, равна Р_В1(А)=. Условная вероятность того, что из первой коробки извлечен красный кубик, при условии, что из второй коробки в первую был переложен не красный кубик, равна Р_В2(А)=. Искомая вероятность того, что из первой коробки будет извлечен красный кубик, по формуле полной вероятности равна

Р(А)= ×+×= 0,9.

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В₁, В₂, …, В _п, образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами.

Если в результате опыта осуществилось событие А, то прежние, доопытные вероятности гипотез Р(В₁), Р(В₂), …, Р(В_п) должны быть заменены на новые, послеопытные вероятности Р_А(В₁), Р_А(В₂), …, Р_А(В_п), которые вычисляются по формуле Бейеса:

Р_А(В_i)=, где Р(А)– полная вероятность.

Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

Пример. Предположим, что 5 % мужчин и 0,25 % всех женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Считая, что мужчин и женщин одинаковое количество, найти вероятность того, что этот человек мужчина.

Решение. Пусть событие А – «выбранный человек оказался дальтоником». Тогда в качестве гипотезы примем событие В₁ – «выбранный человек – мужчина». Р(В₁)=0,5 (так как мужчин и женщин одинаковое количество). По формуле полной вероятности найдем Р(А): так как по условию Р_В1(А)=0,05 и Р_В2(А)=0,0025, то Р(А)=0,5×0,05+0,5×0,0025=0,02625. Следовательно,

Р_А(В₁)= ==.

Дата добавления: 2014-01-06