Пример использования методов прямоугольников и трапеций

Вычислить интеграл .

Это табличный интеграл и он вычисляется точно:

Используем теперь формулы прямоугольников и трапеций. Разобьем отрезок интегрирования [ 0,1 ] на десять равных частей: n = 10; h = 0,1. Вычислим значения подынтегральной функции в точках разбиения x_i = x_i-1 + h, а также в средних точках (i = 1, 2, …,10). Результаты сведены в табл. 7.1.

Таблица 7.1

Результаты промежуточных вычислений при численном интегрировании

xi	yi
0,0	1,000000
0,1	0,99099	0,05	0,997506
0,2	0,961538	0,15	0,977995
…	…	…	…
0,9	0,552486	0,85	0,580552
1,0	0,500000	0,95	0,525624

Значение интеграла по формуле прямоугольников:

Значение интеграла по формуле трапеций:

Погрешность вычислений по формуле прямоугольников:

.

Погрешность вычислений по формуле трапеций:

Этот пример не очень характерный, так как формула трапеций по сравнению с формулой прямоугольника может дать более точный результат. Это зависит от вида подынтегральной функции.

Уменьшая шаг разбиения можно добиться большей точности численного интегрирования. Правда, увеличить число точек не всегда возможно. Если функция задана в табличном виде (она является результатом экспериментов), то приходится ограничиваться данным множеством точек. Повышение точности в этом случае может быть достигнуто за счет повышения степени используемых интерполяционных многочленов. Использование квадратичной интерполяции приводит к методу Симпсона.

Дата добавления: 2014-01-06