Моменты случайных величин

Начальным моментом к-го порядка СВ х называется математическое ожидание ее к-й степени:

,если число значений СВ конечно,

,если число ее значений счетно,

ν_к=М (Х^к)=, для непрерывной СВ.

Центральным моментом к-го порядка μ_к СВ Х называется математическое ожидание к-й степени отклонения Х от ее математического ожидания; для непрерывной СВ

μ _к=М(Х-а)^к =

По аналогии можно получить формулы для вычисления центральных моментов дискретных СВ.Начальный и центральный моменты нулевого порядка любой СВ равны единице, поскольку при к =0 получаем:

ν _о =

μ _o= .

Начальный момент 1-го порядка есть математическое ожидание СВ: ν₁=М(Х). Это получается непосредственно, если в формуле для начальных моментов принять к =1.

Центральный момент 1-го порядка любой СВ равен нулю.

При к =2 получим μ₂=М (Х-а)²=Д(Х).

Абсолютным начальным моментом к-го порядка m_к СВ Х называется математическое ожидание СВ | Х | ^к:

Абсолютным центральным моментом к-го порядка n_k СВ Х называется математическое ожидание СВ | Х-М(Х)|^к:

n_k=, где a=M(X)

Моменты обладают очень важным свойством: если существует момент к-го порядка СВ Х, то существуют ее моменты и всех порядков ч‹к.

В важнейших случаях параметры, определяющие закон распределения СВ, выражаются через моменты первых порядков. Например, нормальный закон определяется двумя параметрами: математическим ожиданием а и дисперсией, т.е. начальным моментом 1-го порядка и центральным моментом 2-го порядка. Закон Пуассона определяется одним параметром - начальным моментом 1-го порядка – математическим ожиданием и.т.д. Таким образом, если эти моменты известны, то становится известным и закон распределения СВ. Поэтому моменты играют важную роль в теории вероятностей.

Дата добавления: 2014-01-06