Равносильности с кванторами

Пусть предикат Р (х), задан на конечном множестве:

х { x₁, x₂, …,x_n }.

1. Будем рассматривать квантор всеобщности как обобщенную конъюнкцию ( х) Р (х) = Р () Р ()… Р (), тогда Р (х)= … х , то есть

Р ( х ) х .

2. Будем рассматривать квантор существования как обобщенную дизъюнкцию

… x , то есть

х .

Правило: Отрицание квантора можно перенести на предикат с изменением квантора.

3.

Эта формула является обобщением свойств коммутативности и ассоциативности конъюнкции для высказываний.

Замечание. .

Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть пример.

Пусть х – натуральное число. Предикаты Р (x) – х простое число, Q (x) – x составное число. Левая формула: «всякое натуральное число является простым или составным» – истинно. Правая формула: «всякое натуральное число – простое или всякое натуральное число составное» – ложно.

4. .

Эта формула является обобщением свойств коммутативности и ассоциативности дизъюнкции для высказываний.

Замечание. .

Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть пример.

Пусть х – натурально число. Предикаты Р (x) – х простое число, Q (x) – x составное число. Левая формула: «существует натуральное число простое и составное» - ложно. Правая формула: «существует натуральное число – простое и существует натуральное число составное» - истинно.

Дата добавления: 2014-01-06