Расчет пружин Бурдона

Принцип работы пружины Бурдона

Стандартное и неверное объяснение.

Равнодействующая давления по внешнему радиусу больше, чем по внутреннему (так как площадь больше), поэтому трубка и разгибается.

В этом описании не учитывается торец трубки.

Правильное объяснение.

Поперечное сечение под действием давления принимает форму окружности. Верхнее волокно переходит на дугу большего радиуса, а нижнее волокно – меньшего радиуса. Переход на дугу другого радиуса приводит к тому, что верхние слои растягиваются, а нижние – сжимаются. В результате возникает изгибающий момент. Поскольку конец трубки свободен, то внутренние силы перераспределяются и пружина изгибается.

Объяснение впервые было дано Карманом в начале ХХ века. Точное решение методом теории упругости получил Тюедо.

Среди многих работ следует выделить работы В.И. Феодосьева, который начал заниматься этой проблемой, когда был на втором курсе, и предложил простой инженерный метод расчета пружин Бурдона (методом Ритца); на пятом курсе им была выпущена книга о расчете пружин Бурдона.

Изгиб пружин Бурдона внешней силой:

Определим деформации, возникающие в пружине при ее нагружении давлением. Один конец пружины закрепляется в неподвижном штуцере, а другой – соединяется с механизмом прибора. Под действием давления пружина разгибается, и ее свободный конец совершает ход.

При подаче давления во внутреннюю полость средний контур поперечного сечения пружины деформируется, стремясь к форме окружности. Если бы поперечные сечения пружины не поворачивались, то произвольное волокно элемента пружины, выделенного двумя близкими поперечными сечениями, перешло бы в положение. При этом. Волокно удлинилось бы на величину.

В действительности продольные волокна стремятся сохранить свои первоначальные размеры, вследствие этого поперечные сечения пружины повернутся, и волокно займет положение. Кривизна оси пружины уменьшится, и конец пружины получит перемещение. Таким образом, причиной изменения кривизны оси пружины является искривление контура поперечного сечении под действием давления. Чем больше вытянуто сечение, тем выше чувствительность пружины.

Деформация волокна:

.

Для большинства манометрических пружин радиус кривизны значительно больше размера малой полуоси сечения, поэтому и. Полагая также, что перемещение, получим:

,

в индексах используются обозначения: 1 – продольное направление, 2 – поперечное направление.

Поскольку все участки манометрической пружины находятся в одинаковых условиях (кроме узких областей вблизи мест крепления), относительный угол поворота элемента будет равен относительному углу поворота концевого сечения пружины, т.е.

.

Поэтому выражение для продольной деформации можно представить в виде:

.

(Обозначение в индексе 2 – у Л.Е. Андреевой, в индексе 1 – у Пономарева).

Построим эпюры деформаций и напряжений. Отметим, что эпюра напряжений самоуравновешена, поскольку момент в сечении равен нулю.

Кроме продольных деформаций возникают еще и поперечные деформации:

.

РИСУНОК (нет рисунка)

Равновесное положение соответствует минимуму полной потенциальной энергии, которая равна сумме потенциальной энергии деформации и энергии положения внешних сил (потенциалу внешних сил).

Основные допущения:

1 - все участки пружины, выделенные сечениями, нормальными к центральной оси, находятся в одинаковых условиях;

2 - справедлива гипотезы о ненадавливаемости слоев и о неизменности нормали; (Справедливы гипотезы о ненадавливании слоев и неизменности нормали)

3 - осевая линия трубки не растягивается,

,.

Сечение симметрично относительно осей и.

;

;

;

;

.

Величину деформации во 2-м направлении можно было бы выразить, если б было известно, как деформируется поперечное сечение.

,

где - изменение кривизны средней линии контура,

- потенциал внешних сил:

;

;

;

.

В решении Феодосьева энергетическим методом принято (в соответствии с методом Ритца), что поперечное сечение деформируется по тому же закону, как и контур прямолинейной трубки под действием внутреннего давления.

Если из прямолинейной трубки выделить элементарное кольцо, то будет получена замкнутая рама.

Для задания формы искривления поперечного сечения рассмотрим плоскую раму (для эллиптического сечения).

РИСУНОК (нет рисунка)

Раскроем статическую неопределимость и выразим перемещения методами сопротивления материалов.

;

по дуге.

,

где - увеличение малой полуоси, являющееся мерой искривления контура.

,

где - изменение кривизны средней линии контура.

.

;.

Из равенства нулю частных производных находим и.

Решение приводит к выражению для определения относительного угла поворота концевого сечения пружины под действием силы:

,

где - главный параметр пружины.

Значения и зависят от отношения. Для пружин эллиптического и плоскоовального сечения числовые значения коэффициентов и даны в таблице (см. [1], стр.315). Например, для эллиптической трубки с отношением,,,.

Относительный угол характеризует изменение кривизны оси пружины и линейное перемещение ее конца. Можно найти перемещение конца пружины в радиальном направлении и в направлении касательной.

;

;

;

;

.

Для радиального направления:

;

.

Для направления по касательной к оси пружины:

;

.

Тогда полное перемещение определится как

,

где.

.

Это решение в дальнейшем уточнялось, решались задачи во втором и третьем приближении.

Приближенный метод дает неплохое совпадение по перемещениям, но по напряжениям результаты дает неудовлетворительные.

Задача решалась по уравнениям теории оболочек на ЭВМ, результаты представлены в виде номограмм.

При проектировании необходимо знать положения центра поворота конца пружины и направление полного перемещения.

РИСУНОК (нет рисунка)

Определим радиус вращения:

.

Координаты центра поворота:

.

При деформации положение центра поворота изменяется.

Пример: Определить перемещение конца пружины Бурдона эллиптического сечения при давлении.

Дано:,,,,,,,. Материал Л62 (латунь).

;

;

.

Дата добавления: 2014-01-06