Нелинейных уравнений. Метод Ньютона для решения систем

Метод Ньютона для решения систем

Уравнений методом Зейделя

Решение системы из двух нелинейных

x_k+1=f(x_k,y_k)

y_k+1=g(x_k,y_k)

Пусть нам дана система из двух нелинейных уравнений

(2)

Этот метод является приближенным методом решения системы нелинейных уравнений, основан на принципах линеаризации. Идея метода состоит в сведении системы нелинейных алгебраических уравнений к системе линейных. В основе метода лежит представление всех уравнений системы (2) в виде рядов Тейлора.

, х₀=а

Рассмотрим систему из двух уравнений и разложим обе функции в ряд Тейлора вблизи точек и .

Отбросим нелинейную часть

Если предположить, что ,, то, приравнивая левую часть системы уравнений нулю, получим другую систему

или

x

y₀

x₀

g(x,y)

f(x,y)

y

Зная вид этих функций можно построить графики. Приближенное место пересечения даст значение нулевого приближения

Так продолжаем до тех пор, пока не будут выполняться условия окончания

y

x

Пример.

x₀=-1, y₀=0

F(x,y)=x²+y²-1

G(x,y)=x+y

F'_x=2x, F'_y=2y

G'_x=1, G'_y=1

Дата добавления: 2014-01-06