Нормальный закон распределения на плоскости

На практике часто встречаются двумерные случацные величины, распределение которых нормально.

Нормальным законом распределения на плоскости называют распределение вероятностей двумерной случайной величины если

(*)

Видим, что нормальный закон на плоскости определяется пятью параметрами: и Их вероятностные смыслы: математические ожидания, - средние квадратические отклонения, коэффициент корреляции величин и .

Убедимся, что если и некоррелированы, то они и независимы. Пусть и некоррелированы, тогда полагая в (*) получим

Таким образом, если составляющие нормально распределенной случайной величины некоррелированы, то плотность совместного распределения системы равна произведению плотностей распределения составляющих, следовательно, и независимости составляющих (п. 16). Справедливо и обратное утверждение (п. 18).

Получается, что для нормально распределенных составляющих двумерной случайной величины понятия независимости и некоррелированности равносильны.

Замечание. Можно доказать, что если двумерная случайная величина нормальна с параметрами и , то ее составляющие также распределены нормально с параметрами, соответственно равными и .

Дата добавления: 2014-01-06