Алгебраическая интерполяция, существование и единственность интерполяционного многочлена

Как уже отмечено выше, при алгебраической интерполяции интерполирующая функция ищется в виде многочлена, он называется интерполяционным многочленом. Задача его нахождения формулируется следующим образом.

Даны значения функции в различных узловых точках х₀, х₁, …х_n. Необходимо найти многочлен P_n(x) степени n, принимающий в узловых точках заданные значения.

Оказывается, что данная задача разрешима и имеет единственное решение. Действительно, пусть

,

– искомый многочлен, – неизвестные коэффициенты.

Тогда для определения коэффициентов имеем линейную систему уравнений

(2.1)

Главным определителем системы (2.1), обозначим его через , является определитель

,

который называется определителем Вандермонда.

Индукцией по n можно показать, что

.

Очевидно, что при значение . Следовательно, система (2.1) имеет единственное решение и, следовательно, существует единственный интерполяционный многочлен.

Дата добавления: 2014-01-06