Решение дифференциальных уравнений с частными производными

Тема №8

Метод конечных разностей (МКР) (метод сеток).

Метод 34

Метод стрельбы.

Метод 33

Методы решения задачи Коши могут быть использованы при решении краевых задач. В качестве примера рассмотрим один из методов решения краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка, который называется методом стрельбы.

Решается дифференциальное уравнение второго порядка:

Заменим эту краевую задачу задачей Коши

Задача сводится к тому, чтобы найти такой угол, чтобы в точке решение равнялось.

Эта задача зависит от угла, как от параметра:

И нужно чтобы

Решение этого уравнения есть. Найдя, мы тем самым решим задачу как методом Коши.

y

x

x_n

x₀

α

y₀

y_n

Одним из универсальных методов решения краевых задач является метод конечных разностей.

Рассмотрим применение МКР для решения линейного дифференциального уравнения второго порядка.

Пусть требуется найти дифференциальное уравнение:

заданы краевые условия

Разбиваем отрезок узловыми равноотстоящими точками на частных отрезков. В каждой внутренней узловой точке аппроксимируем, производные с помощью разностных соотношений и записываем решаемое дифференциальное уравнение (1) для каждой внутренней узловой точки. В результате получается система алгебраических уравнений для нахождения неизвестных значений функции

Рассмотрим узловую точку

x

x_i-1

x_i

x_i+1

y_i-1

y_i

y_i+1

Аппроксимируем решаемое дифференциальное уравнение для узловой точки. Для этого

получили приблизительное значение производной.

Подставим найденные значения в дифференциальное уравнение. Найдем, что в узле дифференциальное уравнение приблизительно заменяется следующим алгебраическим уравнением:

Аналогичное соотношение можно записать для каждого внутреннего узла. В результате получается система линейных алгебраических уравнений; число этих уравнений равно числу неизвестных значений, решаем систему и находим неизвестные.

Замечание: полученная система СЛАУ имеет трехдиагональную матрицу, поэтому решать полученную систему удобно с помощью метода прогонки.

Во многих практических важных задачах искомая функция зависит от нескольких переменных. Например, от трех координат и времени. Дифференциальные уравнения, описывающие такие задачи, могут содержать частные производные от искомой функции, такие уравнения называют дифференциальными уравнениями с частными производными. Наиболее практическое значение имеют дифференциальные уравнения с частными производными первого и особенно второго порядка. Такие уравнения называют уравнениями математической физики.

Различают уравнения математической физики трех типов:

1) параболический

2) гиперболический

3) эллиптический.

Тип уравнения зависит от соотношений между коэффициентами перед старшими производными. Способ решения уравнения математической физики существенным образом зависит от типа уравнения.

Существует множество аналитических методов решения уравнения математической физики. Однако круг задач, решаемых аналитически, весьма ограничен и поэтому для решения уравнения математической физики применяют численные методы. Таких методов тоже очень много. Мы рассмотрим один из них.

Этот метод относится к универсальным методам решения. Этот метод наиболее изучен и разработан. Широко используется также метод конечных элементов (МКЭ), метод граничных элементов (МГЭ) и другие методы.

Рассмотрим решение уравнения параболического типа с помощью метода сеток. Типичным примером одномерного уравнения параболического типа является уравнение теплопроводности:

Дата добавления: 2014-01-06