Операции над событиями

Сумма (объединение) событий А и В - событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А и В. Сумму событий обозначают А + В (или А∪В).

Произведение (пересечение) событий А и В - событие, состоящее в их совместном появлении. Произведение событий обозначают А ∙ В (или А∩В).

Разность событий А и В - событие А\В, происходящее тогда и только тогда, когда происходит А, но не происходит В.

а) А + В б) А ∙ В в) А\В г) Ᾱ

Рис. 6.1

На рис. 6.1 события А + В, А ∙ В, А\В, Ᾱ заштрихованы

Теорема 6.1. Для любых событий Л, В и С справедливы следующие законы и свойства:

1. Коммутативности А + В = В + А; А ∙ В = В ∙ А.

2. Ассоциативности: (А • В) • С = А • (В • С); (А + В) + С = А + (В + С).

3. Дистрибутивности: А • (В + С) = (А • В) + (А • С).

4. Идемпотентности: А • А = А; А + А = А.

5. Поглощения. А + Ω = Ω; А • Ω = А; А + Æ = А; А • Æ = Æ.

6. А+ А = Ω; А = Ω \А.

7. А + (А • В) = А; А • (А + В) = А.

8.Де Моргана: ⌐ (А•В) = Ᾱ + ; ⌐ (А + В) = Ᾱ • .

9.А\(В•С) = (А\В) • (А\С); А\(В + С) = (А\В) + (А\С) = (А\В)\С/

10. Двойного отрицания: ⌐ Ᾱ = А.

11. А + Ᾱ = Ω ;

12. А\В = А • В.

Доказательство этой теоремы опускается.

ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ А (Р(А)) - отношение числа т благоприят­ствующих событию А исходов к общему числу п всех равновозможных попарно несовместных элементарных исходов, образующих полную группу, т.е.

Р(А) = m\n (6.1)

Данная формула представляет собой т.н. классическое определение вероят­ности по Лапласу.

Теорема 6.2. Вероятность достоверного события равна единице: Р(Ω) = 1.

Доказательство. Пусть Ω - достоверное событие. Тогда в результате испытания оно обязательно произойдет. Следовательно, каждый элементарный исход испытания будет благоприятствующим событию Ω, т.е. m = n. Значит, Р(Ω) = m\n = 1. Теорема доказана.

Теорема 6.3. Вероятность невозможного события равна нулю: Р( Æ ) = 0.

Доказательство. Пусть Æ - невозможное событие. Тогда в результате испытания оно никогда не произойдет. Следовательно, число благоприятствующих событию 0 исхо­дов равно нулю, т.е. m = 0. Значит Р( Æ ) = 0 \ n. = 0. Теорема доказана.

Теорема 6.4. Если А - случайное событие, то 0 < Р(А) < 1.

Доказательство. Так как А - случайное событие, то в результате испытания оно мо­жет как наступить, так и не наступить. Поэтому число m благоприятствующих событию А исходов испытания, с одной стороны, больше нуля, а с другой стороны меньше числа n всех элементарных исходов испытания, т.е. 0 < m < n. Тогда 0/ n < m / n < n / n, и значит,

0 < m / n < 1. Теорема доказана.

Теорема 6.5. Если А - событие, то 0 < Р(А) < 1.

Доказательство следует из теорем 6.2 - 6.4.

Пример 6.5. Испытание состоит в подбрасывании игральной кости, на каждой из граней которой проставлено число очков (от 1 до 6). Какова вероятность того, что: а) выпадет 2 очка? б) выпадет нечетное число очков?

Решение. В данном испытании имеется 6 равновозможных случаев (выпадение 1,2,3,4,5,6 очков, т.е. n = 6), т.к. нет оснований предполагать, что появление какого-то определенного числа очков более вероятно (при условии, что кость симметрична). По­этому вероятность выпадения любого числа очков, в том числе и 2, при одном (m = 1) подбрасывании равна 1/6.

Событию А, заключающемуся в появлении нечетного числа очков, благоприятствуют три случая (выпадение 1, 3 и 5, т.е. m = 3), поэтому по формуле (6.1) получаем Р(А) = m / n = 0,5.

Ответ, а) 1/6; б) 0,5.

Пример 6.6. В коробке из 12 кубиков находятся 5 красных кубиков. Найдите вероят­ность того, что среди восьми взятых наудачу кубиков, ровно 2 красных.

Решение. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 8 кубиков из 12, т.е. числу сочетаний из 12 элемен­тов по 6 (С ). Подсчитаем число исходов, благоприятствующих событию А - "Среди восьми взятых кубиков ровно 2 красных": 2 красных кубика можно взять из 5 красных кубиков С способами; при этом остальные 8 ∙ 2 = 6 кубика не должны быть красными; взять же 6 не красных кубика из 12 - 5 = 7 не красных кубиков можно С способами.

Следовательно, число благоприятствующих исходов равно С • С .

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию,

к числу всех элементарных исходов: Р(А) = (С • С ): (С ) = 14 \ 99.

Ответ: 14/99.

В основе математических моделей, используемых в теории вероятностей, лежат три понятия: пространство элементарных событий Ω, класс событий А (подмножеств Ω) и определенная на этом классе функция множеств Р - вероят­ностная мера. Значение Р(А) функции Р для события А и называется вероятно­стью события А.

ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ЧАСТОТА СОБЫТИЯ - отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний. Относительная частота события А определяется формулой W(А) = m\n, где m - число появлений события, n - общее число испытаний.

Определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности; определение же относительной частоты предполагает, что испытания были произведены фактически. Другими словами, вероятность вы­числяют до опыта, а относительную частоту - после опыта. Так, если по окончании экзаменационной сессии выясняется, что из 24 случайно отобран­ных студентов неуспевающими являются 3 студента, то относительная частота появления неуспевающих студентов W(А) = 3/24 = 0,125.

Длительные наблюдения показывают, что если в одинаковых условиях производятся опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости, суть которое состоит в том, что в различных опытах относительна частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторо­го постоянного числа. Это постоянное число есть вероятность появления собы­тия. Таким образом, если опытным путем установлена относительная частота, то полученное число можно принять за приближенное значение вероятности.

Пример 6.7. По данным статистического управления города N относительная час­тота рождения девочек за 2000 г. по месяцам характеризуется следующими числами (числа расположены в порядке следования месяцев, начиная с января): 0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473. Относительная частота ко­леблется около числа 0,482, которое можно принять за приближенное значение вероят­ности рождения девочек.

СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ. Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испы­тания - конечно, а элементарные события равновозможные. О равновозможности элементарных исходов испытания судят из соображений симметрии. Так, например, обстоит дело при бросании игрального кубика, когда предполагают, что он имеет идеальную форму правильного многогранника (куба), при извле­чении шаров из урны, когда считают, что шары абсолютно одинаковые по фор­ме и неразличимы на ощупь, и т.п.

Однако задачи, в которых можно исходить из соображений симметрии, на практике встречаются весьма редко. Чаще встречаются испытания, элементар­ные события которых не являются равновозможными. В таких случаях класси­ческое определение неприменимо. По этой причине наряду с классическим оп­ределением пользуются также статистическим определением вероятности, при­нимая за вероятность события относительную частоту или число, близкое к ней. Другими словами, если в результате достаточно большого числа испытаний оказалось, что относительная частота события А весьма близка к числу 0,78, то это число принимают за статистическую вероятность события А, и говорят, что событие А стохастически устойчиво. Например, если при 100 попытках стрелок попал в цель 81 раз, то можно считать, что для него вероятность попадания в цель при данных условиях приблизительно равна 0,81, т.е. относительной час­тоте попадания.

АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

Пусть Ω - пространство элементарных событий некоторого стохастического эк­сперимента и в Ω выделена система 5 событий, являющаяся алгеброй событий. Это означает, что:

1) Ω Î S;

2) Если А Î S Þ Ᾱ Î S;

3) Если А и В Î S Þ А+ В Î S и А∙ В Î S.

Каждому событию А поставим в соответствие число Р(А) (его вероятность) так, что выполняются следующие свойства:

1 .("А Î S) [Р(А) ≥ 0].

2. Р( Ω )= 1

3. Если А и В несовместны (АВ = Æ), то Р(А + В) = Р(А) + Р(В).
Тройка ( Ω, S, Р) называется вероятностным пространством.

Этот подход позволяет, не обсуждая трудного вопроса о том, откуда извест­ны первоначальные вероятности, если известны вероятности одних событий, вычислить по ним вероятности других, достаточно сложных событий, пользу­ясь только перечисленными аксиомами. В таком виде аксиоматика теории веро­ятностей была предложена

А.Н. Колмогоровым.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Рассмот­рим опыт, состоящий в бросании случайным образом точки на отрезок [а; b], предполагая, что попадания в любую точку равновозможны. Пространство эле­ментарных событий Ω в этом опыте - все точки отрезка [а; b]. Поскольку множество элементарных событий несчетно (бесконечно) и все они равновозможны, то для "w Î Ω Р(w) = 0. Так что классическая схема неприменима. В этом случае положим, что вероятность события А - "Попадание брошенной точки на отрезок [с; d] Ì [а; b] -пропорциональна длине отрезка [с; d], т.е. Р(А) = к ∙ (d - с), где d - с - длина отрезка. Коэффициент к находится из условия нормировки: Р( Ω ) = к ∙ (а - b) = 1 => к = 1 / (а - b) и Р(А) = (d - с) / (а - b).

Пример 6.8. Абонент ждет телефонного вызова в течение одного часа. Какова веро­ятность, что вызов произойдет в последние 20 минут этого часа?

Решение. Пусть событие А состоит в том, что вызов произошел в последние 20 ми­нут. Изобразим пространство элементарных событий в виде отрезка длины 60. Тогда элементарные события, благоприятные А, заключены в последнюю треть отрезка, сле­довательно, Р{А) =1/3.

Ответ: 1/3.

Естественно, что вместо отрезка можно говорить о плоской фигуре, опреде­лив вероятность как отношение Р(А) = S (А) / S ( Ω ), где S (А) и S ( Ω ) - площади cоответствующих фигур.

Нетрудно убедиться, что все аксиомы и в том, и в другом случае выполняются.

Пример 6.9. Два лица Х и У условились встретиться в определенном месте между 12 часами и часом, при этом пришедший первым ждет другого в течение 20 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи лиц X и У, если приход каждого из них в течение указанного часа может произойти случайно, и моменты прихода независимы?

Решение. Обозначим момент прихода лица X через х, а лица У - через у. Для того, чтобы встреча произошла, необходимо и достаточно выполнение неравенства | х - у| < 20. На координатной плоскости множество точек, удовлетворяющие этому неравенству, изобразятся в виде полосы (рис. 6 .2, а), все возможные исходы - точками квадрата со стороной 60 (минут) а благоприятствующие встрече - расположатся в заштрихованной обла­сти (рис. 6.2, 6). Следовательно, искомая вероятность равна отношению площади заштрихованной фигуры к площади всего квадрата, т.е. равна (60² - 40²)/60² = 5/9.
_у* >

Рис. 6.2

Ответ: 5/9.

ВЕРОЯТНОСТИ СУММЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ СОБЫТИЙ. Часто бывает так, что вероятность некоторого события можно найти, зная вероятнос­ти других событий, связанных с этим событием.

Теорема 6.6. (Теорема сложения вероятностей). Вероятность суммы (объединения; появления одного из них, безразлично какого) двух произ­вольных событий равна сумме вероятностей этих событий за вычетом вероятности их совместного появления, т.е.

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

Доказательство. Пусть А и В - произвольные события. Обозначим через п число всех элементарных исходов испытания, в результате которого может наступить событие А + В. В силу определения число т всех исходов, которые благоприятствуют событию А + В, можно посчитать следующим образом: к числу m₁, благоприятствующих событию А исходов испытания прибавим число т₂ благоприятствующих исходов событию В. Поскольку на­ступление события А + В происходит и при совместном наступлении событий А и В (т.е. при наступлении события АВ), а каждый благоприятствующий событию АВ исход благо­приятствует как событию А, так и событию В, то в сумме m₁ + т₂ дважды учтено число т₃ всех благоприятствующих событию АВ исходов. Поэтому m = m₁ + т₂ - т₃ и значит, Р(А + В) = т\п = (m₁ + т₂ - т₃)\п = m₁\п + т₂\п - т₃ \п. Учитывая, что m₁\п, т₂\п, т₃ \п - вероятности событий А, В, АВ соответственно, то Р(А + В) = Р (А) + Р(В)- Р(АВ). Теорема доказана.

Следствие 1. Вероятность суммы (объединения) попарно несовместных событий равна сумме их вероятностей, т.е. Р(А ₁ + А₂ +... + А_п) = Р(А ₁ ) + Р(А₂) +…+ Р(А_п).

Следствие 2. Пусть А ₁, А₂,..., А_п - полная группа попарно несовмест­ных событий. Тогда Р(А ₁ ) + Р(А₂) +…+ Р(А_п) = 1.

Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т.е. Р(А) + Р(Ᾱ) = 1.

Пример 6.10. В урне 5 белых, 6 черных и 9 красных шаров. Какова вероятность того, что первый наугад вынутый шар окажется черным или красным?

Решение. Здесь имеется всего 20 элементарных исходов, из которых появлению чер­ного шара благоприятствует 6, а появлению красного - 9. Поэтому вероятность события А - появление черного шара: Р(А) = 6/20, а вероятность события В - появление красного шара: Р(В) = 9/20. Поскольку события А и В несовместны (вынимается всего один шар), то Р(А + В) = Р(А) + Р(В) = 6/20 + 9/20 = 0,75.

Ответ: 0,75.

Условная вероятность события В (Р_А(В)) - вероятность события В, вычисленная при условии, что событие А уже произошло. Если А и В - незави­симые события, то Р_А(В) = Р(В), Р_В(А) = Р(А).

Теорема 6.7. (Теорема умножения вероятностей). Вероятность произ­ведения (пересечения; совместного появления) двух произвольных событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило, т.е. Р(АВ) = Р(А)Р_А(В) = Р(В)Р_В(А).

Доказательство. Пусть п - число всех элементарных исходов испытания, т из этих исходов благоприятствуют событию А и d исходов благоприятствуют событиям А и В. Тогда, по определению вероятности события, имеем Р(А) = т/п, Р(АВ) = d/п. Найдем условную вероятность Р_А(В) события В при условии, что событие А наступило. Событие А насту­пает в т исходах, а в d исходах из них наступает событие В. Следовательно, Р_А(В) = d/т. Так как d/п = (т/п)(d/т), то Р(А В) = Р(А) Р_А(В). Аналогично можно показать, что Р(АВ) = Р(В) Р_В(А). Теорема доказана.

Пример 6.11. На полке стоят 11 научно-популярных книг и 5 художественных. Ка­кова вероятность того, что две подряд наугад взятые книги окажутся художественными?

Решение. Рассмотрим два события В₁ и В₂: В₁ - при первом испытании взята худо­жественная книга, В_г - при втором испытании взята художественная книга. По теоре­ме 6.7 вероятность такого события равна Р(В₁В₂) = Р(В₁) Р_В₁ (В₂). Вероятность события В₁Р_В₁ = 5/16. После первого испытания на полке останется 15 книг, из которых 4 художе­ственные, поэтому условная вероятность Р_В₁ (В₂) = 4/15.

Отсюда искомая вероятность равна: Р(В₁В_г) = 5/16∙4/15 =1/12..

Ответ: 1/12.

Следствие 1. Вероятность совместного появления нескольких собы­тий равна произведению вероятности одного из них на условные вероят­ности всех остальных, причем вероятность каждого последующего со­бытия вычисляют при условии, что все предыдущие события уже насту­пили, т.е.

Р(А ₁∙ А₂ ∙ ... ∙ А_п) = Р(А ₁ ) • Р _А₁ (А₂ ) • Р _А₁ _{А 2} (А ₃) • … • Р_А ₁ Р_А2… Р_Аn-1 (А_п,).

Пример 6.12. Из десяти карточек составлено слово "МАТЕМАТИКА". Из них школь­ник наудачу выбирает поочередно четыре карточки и приставляет одну к другой. Какова вероятность того, что получится слово "ТЕМА"?

Решение. Введем события А ₁, А₂, А ₃, А₄, состоящие в том, что первая выбранная буква - Т, вторая - Е, третья – М и четвертая - А. Нам нужно найти вероятность произ­ведения этих событий. По следствию 1 из теоремы 6.7 имеем:

Р(А₁∙А₂ ∙А₃∙А₄ = 2/10∙1/9∙2/8∙3/7 = 1/420.

Ответ: 1/420.

Следствие 2. Если А₁, А_2, ..., А_п - независимые события, то вероятность их произведения (совместного появления) равна произведению веро­ятностей этих событий, т.е. Р(А ₁∙ А₂ ∙ ... ∙ А_п) = Р(А ₁ ) • Р (А₂) • … • Р(А_п).

Пример 6.13. Два стрелка независимо один от другого делают по одному выстрелу по одной и той же мишени. Вероятность поражения мишени первым стрелком - 0,7; вторым - 0,8. Какова вероятность того, что мишень будет поражена?

Решение. Пусть событие А состоит в том, что мишень поразил первый стрелок, а событие В - в том, что мишень поразил второй стрелок. По условию Р(А) = 0,7 и Р(В) = 0,8.

1-й способ. Рассмотрим противоположные события: Ᾱ - промах первого стрелка,  - промах второго. По следствию 3 из теоремы 6.6 получаем Р(Ᾱ) = 1 - 0,7 = 0,3 и Р() = 1 - 0,8 = 0,2. Произведение событий Ᾱ •  означает промах обоих стрелков. По смыс­лу задачи события А и В являются независимыми, поэтому и противоположные события Ᾱ и  также будут независимыми. По следствию 2 из теоремы 6.7 получаем вероят­ность того, что оба стрелка промахнутся:

Р(Ᾱ • ) = 0,3 • 0,2 = 0,06. Нас же интересует вероятность противоположного события, состоящего в том, что мишень поражена. По­этому искомую вероятность мы находим по следствию 3 из теоремы 6.6: 1 - 0,06 = 0,94.

2-й способ. Искомое событие (мишень будет поражена хотя бы одним стрелком) есть сумма событий А и В. По теореме 6.6 Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) = 0,7 + 0,8 - 0,7 • 0,8= 1,5-0,56 = 0,94.

Ответ: 0,94.

Пример 6.14. В студенческой группе 25 человек. Какова вероятность того, что дни рождения хотя бы у двоих совпадают?

Решение. Вероятность того, что дни рождения у двух произвольно взятых людей совпадают, равна 1/365 (считаем, что попадания дня рождения на любой день в году -равновозможные случаи). Тогда вероятность того, что дни рождения двух людей не со­впадают, т.е. вероятность противоположного события равна 1 - 1/365 = 364/365. Вероят­ность того, что день рождения третьего отличается от дней рождения двух предыдущих, составит 363/365 (363 случая из 365 благоприятствуют этому событию). Рассуждая анало­гично, находим, что для 25-го члена группы эта вероятность равна 341/365. Далее найдем вероятность того, что дни рождения всех 25 членов группы не совпадают. Поскольку все эти события (несовпадение дня рождения каждого очередного члена группы с днями ро­ждения предыдущих) независимы, то по следствию 2 из теоремы 6.7 получаем:

Р(А₁∙А₂∙...∙А₂₅) = 364/365∙ 363/365∙ …∙341/365 = 0,43

Это вероятность того, что дни рождения у всех 25 человек не совпадают. Вероятность противоположного события будет вероятностью того, что хотя бы у двоих дни рожде­ния совпадают, т.е. искомой вероятностью Р = 1 - 0,43 = 0,57.

Ответ: 0,57.

СХЕМА БЕРНУЛЛИ. Пусть А - случайное событие по отношению к неко­торому испытанию. Будем считать, что испытание имеет два исхода: наступле­ние события А и ненаступление события А (т.е. наступление события Ᾱ). Если производится несколько таких испытаний, причем вероятность события А в каж­дом из них не зависит от исходов остальных, то такие испытания называют не­зависимыми (относительно события А).

Говорят, что проводимый эксперимент удовлетворяет схеме Бернулли, если:

1) эксперимент состоит из n независимых испытаний;

2) каждое испытание имеет два исхода - наступление некоторого события А
и наступление события А;

3) вероятность события А в каждом испытании постоянна.

Теорема 6.10. Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р, а не появления - q. Тогда вероятность Р_п (k) того, что в n испытаниях событие А появится ровно k раз, вычисляется по формуле Бернулли: Р_п (k) = С • рq .

Наивероятнейшее число наступления события А в n испытаниях - чис­ло k = k₀ при котором вероятность Р_п (k) является наибольшей.

Теорема 6.11. Если р ≠ 0 и р ≠1,то наивероятнейшее число k₀ можно определить из двойного неравенства: n р - q £ k₀ £ n р + р. Если n р + р не является целым числом, то данное неравенство определяет лишь одно наивероятнейшее число. Если n р + р - целое число, то имеются два наивероятнейших значения: k₀ ' = n р - q и k₀ '' = n р + р. Доказательство этой теоремы опускается.

Пример 6.17. Вероятность попадания в мишень при выстреле равна 0,8. Найдите:

а) вероятность того, что при семи выстрелах произойдет пять попаданий в мишень;

б) наи­вероятнейшее число k₀ попаданий в мишень при семи выстрелах.

Решение. Рассматриваемый в задаче эксперимент удовлетворяет схеме Бернулли. Пусть А - событие "Попадание в мишень при выстреле". Тогда событие Ᾱ означает "промах". По условию Р(А) = р = 0,8, значит, Р(Ᾱ) = q = 1 - р = 0,2.

а) Для нахождения пяти попаданий при семи выстрелах воспользуемся теоремой 6.10: Р₇ (5) = С• р• q = 7! / (5!(7-5)!• 0,8⁵• 0,2² = 0,275.

б) Наивероятнейшее число попаданий в мишень при семи выстрелах находим (согласно теоремы 6.11) из двойного неравенства 7•0,8 - 0,2 £ k₀ £7 •0,8 + 0,8, т.е 5,4 £ k₀ £6,4.
Значит, k₀ = 6.

Ответ: а) 0,275; б) 6.

Глава II. ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ

Дата добавления: 2014-01-06