Лекция 15. Взаимодействие электромагнитных волн с веществом. Фазовая и групповая скорости электромагнитных волн. Нормальная и аномаль­ная дисперсии. Электронная теория дисперсии

Лекция 13. Обобщение Максвеллом представлений об электромагнитной индукции. Взаимосвязь переменных электрического и магнитного полей. Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной формах, их физическое истолкование Сравнительная характеристика электрического и магнитного полей.

Про классическую теорию электромагнитного взаимодействия и его переносчика - электро­магнитное поле - говорят иногда, что электродинамика Максвелла - это уравнения Максвелла. В 60 - ых годах прошлого столетия Максвелл выполнил работу, подобную той, которую два века до него осуществил Ньютон. Если Ньютон довершил создание первой фунда­ментальной теории движения, то Максвелл завершил создание первой теории физического взаимо­действия (электромагнит­ного). Подобно классической механике Ньютона, в основу электродина­мики Максвелла также были положены некоторые предельно фундаментальные и элеме­нтарные соотношения, выраженные уравнениями, получившими имя Максвелла.

Эти уравнения имеют две формы - интегральную и дифференциальную своего выражения и фактически они выражают взаимосвязь характеристик электромаг­нитного поля с характеристи­ками источников (зарядов и токов), это поле по­рождающих. Эта связь не имеет такого простого выражения, как, например связь мер движения и взаимодействия, выражаемая основным законом динамики - вторым законом Ньютона. Поэтому уравнения Максвелла, выражающие основную идею электродинамики - учения об электромагнитном взаимодействии - появ­ляются при её изучении в вузе - лишь в конце курса.

Как и любые другие предельно общие теоретические положения, уравнения Максвелла в рамках самой электродинамики формально не выводятся. Они получаются как результат творче­ского обобщения разнообразного опытно-экспери­ментального материала, и их правильность подтверждается различными следс­твиями и практическими приложениями.

До Максвелла была известна полная система уравнений электро- и магнито­ статики и одно уравнение электро динамики - уравнение, выражающее закон электромагнитной индукции. В целом же эта совокупность уравнений не явля­лась полной системой, однозначно задающей состояние элек­тромагнитного по­ля. Для получения такой системы Максвелл произвёл обобщение закона элект­ро­магнитной индукции e = - dФ¤dt, записав его уравнение в интегральной форме:

= -= - (вектор зависит и от t, и от , а поток Ф = - только от t)

Полученное уравнение можно представлять себе как обобщённую на вихре­вое электрическое поле, теорему о циркуляции вектора в электростатике. Здесь Максвелл фак­тически выбросил проводящий контур, который был у Фарадея и который, по Максвеллу, являлся просто индикатором наличия (по индук­ционным токам) вихревого электрического поля в области вокруг изменяющегося магнитного поля.

В представленной Максвеллом форме закона электромагнитной индукции более выпукло просвечивает физическая суть явления, согласно которому переменное магнитное поле порождает в окружающем пространстве вихревое (с ненулевой циркуляцией) электрическое поле. Представив так явление электромагнитной индукции, Максвелл смог, опе­ревшись на соображения симметрии, пред­положить возможность существования в природе и обрат­ного электромагнитной индукции эффекта. Его можно назвать магнитоэле­ктрической индукцией, суть которой в том, что изменяющееся во времени элект­рическое поле, порождает в окружающем пространстве магнитное поле. Формально это записыва­ется так, что циркуляция напряженности магнитного поля равна быстроте изменения во времени потока индукции электрического поля. С учётом же то­го, что магнитное поле с самого начала (со статического состояния) являе­тся вихревым, то есть для него циркуляция всегда не равна нулю, обоб­щённая взаимосвязь магнитного и электрического полей примет вид:

= I + I_см, где I_см =

Здесь быстрота изменения потока индукции электрического поля формально эквивалентна некоторому току. Этот ток называют током смещения. Можно пре­дставить, что этот ток как бы замыкает протекание тока в цепи, например, с конденсаторами, через которые обычный ток прово­димости не протекает. Плотность тока смещения равна быстроте изменения электрического смещения (вектора ): = (¶/¶t). При разряде заряженного конденсатора по проводам протекает ток проводимости, и, кроме того, в пространстве между пластинами убывает (изменяется) электрическое поле.

Быстрота же изменения индукции электрического поля, то есть ¶¤¶t и есть плотность тока смещения . Ток смещения замыкает ток проводимости в разрывах между проводниками. Он, как и ток проводимости, создаёт вокруг себя магнитное поле, а в диэлектрике (там его называют поляри­зационным то­ком) он выделяет тепло - так называемые диэлектрические потери.

Итак, теперь мы можем записать полную систему уравнений единого элек­тромагнитного поля - систему уравнений Максвелла:

= - = I +

= q_å = 0

В статическом состоянии электрическое (электростатическое) поле порождается только неподвижными (или равномерно движущимися) в данной ИСО электрическими зарядами и является потенциаль­ным (обладает нулевой циркуляцией). Магнитостатическое поле порождается только токами и всегда является непотенциальным (вихревым). Электростатическое поле, имея своими источниками заряды, имеет начало своих сило­вых линий на положительных зарядах и конец - на отрицательных зарядах (или в бесконечности). Магнитное же поле не имеет таких источников, поскольку магнитных монополей до сих пор не обнаружено, и потому его силовые линии даже в статическом состоянии являются замкнутыми, не имея ни начала, ни конца.

В динамическом же, нестационарном состоянии, когда источники полей и сами, порождаемые ими поля, становятся изменяющимися во времени, выявляется новая принципиа­льная особенность электриче­ского и магнитного нестационарных полей. Выясняется, что в этом состоянии они приобретают способность порождать друг друга, становиться источниками друг друга. В результате возни­кает новое нераз­рывно взаимосвязанное состояние единого электромагнитного поля. Первое урав­нение Максвелла, как уже говорилось, указывает на то, что изме­няющееся во времени магнитное поле, порождает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле. Второе же уравнение Максвелла говорит о том, что магнитное поле порождается не только токами, но и переменным во времени электрическим полем. В итоге мы можем заключить, что переменные (нестацио­нарные) электрическое и магнитное поля являются взаимными источниками друг друга, и их различие во многом относительно. В нестационарном состоя­нии они способны существовать совершенно само­стоятельно от источников (пе­ременных токов), их породивших, в виде единого неразрывного элек­тромагнитно­го поля.

Последние два уравнения Максвелла указывают на разный характер симметрии электриче­ского и магнитного стационарных полей.

Для решения основной задачи электродинамики, уравнения Максвелла, выра­жающие её основную идею (связь характеристик поля с характеристиками его источников), должны быть дополнены так называемыми материальными уравнения­ми, связывающими характеристики поля с характеристиками вещественной среды. Этими уравнениями являются следующие:

= e_оe; = m_оm и = g, где e и m - диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, а g - удельная электропроводность среды.

Уравнения Максвелла часто записывают в более компактной - дифференциа­льной форме, которая получается из интегральной формы путём предельного перехода контуров и поверхностей интегрирования к нулю: S ® 0 и L ® 0.

Введем векторный оператор, называемый "набла" и обозначаемый Ñ, как век­тор со следую­щими компонентами: Ñ = (¶/¶х, ¶/¶у, ¶/¶z).

Для любого векторного поля () = (А_х, А_у, А_z) важными являются следующие совокупно­сти дифференциальных операций:

а) скалярная, называемая дивергенцией :Ñ= diu = ¶А_х/¶х + ¶А_у/¶у + ¶А_z/¶z

б) векторная, называемая ротором :

Ñ = rot = (¶А_у/¶_z - ¶А_я/¶_у) + (¶А_z/¶х - ¶А_х/¶_z) + (¶А_у/¶_Х - ¶А_Х/¶_У)

В этих обозначениях уравнения Максвелла в дифференциальной форме, примут следующий вид:

rot= - ¶/¶t; rot = + ¶/¶t; diu = r; diu = 0

или Ñ = - ¶/¶t; Ñ = + ¶/¶t; Ñ = r; Ñ = 0

В уравнения Максвелла входят только свободные заряды r и токи проводи­мости . Связан­ные заряды и молекулярные токи входят в эти уравнения неявно - через характеристики среды – диэлектрическую и магнитную проницаемости e и m.

Для перехода к дифференциальной форме записи теоремы о циркуляции воспользуемся известной из векторного анализа теоремой Стокса, связывающей циркуляцию вектора с поверхностным интегралом от ротора этого вектора:

= ,

гдеS – поверхность, ограниченная контуром L. Под ротором вектора понимают векторный дифференциальный оператор, задаваемый следующим образом:

rot = (¶Е_у/¶z - ¶Е_z/¶у) + ( ¶Е_z/¶х - ¶Е_х/¶z) + (¶Е_x/¶y - ¶Е_y/¶x)

Физический смысл ротора вскрывают, устремляя поверхность S к нулю. В пределах достаточно малой поверх­ности ротор вектора можно считать постоянным и вынести за знак интеграла:

= rot × = rot×S.

Тогда, согласно теореме Стокса:rot = (1/S)при S ® 0.

Отсюда ротор вектора можно определить как поверхност­ную плотность циркуляции этого вектора.

Так как в ЭСП циркуляция вектора равна нулю, то равен нулю и ротор вектора :

rot = 0.

Это уравнение и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора в ЭСП.

Для перехода к дифференциальной форме записи теоремы Остроградского – Гаусса воспользуемся известной из векторного анализа теоремой Гаусса, связывающей поток вектора по замкнутой поверхности с интегралом от дивер­генции этого вектора по объему, заключенному в этой поверхности:

=

Под дивергенцией вектора понимают скалярный дифференциальный оператор (совокупность производных), задаваемый следующим образом:

div = ¶Е_х/¶х + ¶Е_у/¶у + ¶Е_z/¶z.

Физический смысл дивергенции вскрывают, устремляя объем V к нулю. В пределах достаточно малого объема дивергенцию вектора можно считать постоянной и вынести за знак интеграла:

= div × = (1/V) div . Тогда, согласно теореме Гаусса,

div = (1/V)при V ® 0.

Отсюда дивергенцию вектора можно определить как объемную плотность потока этого вектора.

Соотнося теорему Остроградского – Гаусса = q_å/e_о = (1/e_о) и теорему Гаусса = , видим, что левые их части равны друг другу. Приравнивая их правые части, получаем:

div = r/e_о.

Это уравнение и представляет собой дифференциальную форму теоремы Остроградского – Гаусса.

Лекция 14. Электромагнитные волны. Объяснение возникновения электромагнит­ных волн с позиций уравнений Максвелла. Уравнение бегущей электромагнитной волны. Волно­вое уравнение. Перенос энергии электромагнитной волной. Вектор Умова - Пойнтинга. Излучение диполя.

Электромагнитные волны представляют собой распространяющиеся в простра­нстве взаимо­связанные колебания электрического и магнитного полей. В отли­чие от звуковых (акустических) волн, электромагнитные волны могут распро­страняться в вакууме.

Качественно механизм возникновения свободного (от источников в виде электрических зарядов и токов) электромагнитного поля может быть пояснён на основе анализа физической сущности уравнений Максвелла. Два фундамента­льных эффекта, отображаемых уравнениями Максвелла - электромагнитная инду­кция (порождение переменным магнитным полем переменного вихревого электри­ческого поля) и магни­тоэлектрическая индукция (порождение переменным элек­трическим полем переменного магнит­ного поля) приводят к возможности эле­ктрического и магнитного переменных полей быть взаимными источниками друг друга. Взаимосвязанное изменение электрического и магнитного полей и пре­дставляет собой единое электромагнитное поле, которое способно в вакууме распро­страняться со скоростью света
с = 3×10⁸ м/с. Это поле, способное существовать совершенно незави­симо от зарядов и токов и вообще от вещества и представляет собой второй (на­ряду с веществом) - полевой вид (форму) существования материи.

В опыте электромагнитные волны были обнаружены в 1886 г Г. Герцем, спустя 10 лет после смерти, предсказавшего теоретически их существование Максвелла. Из уравнений Максвелла в непроводящей среде, где r = 0 и = 0, взяв операцию ротора от первого уравнения и подставив в него выражение для rot из второго уравнения, получим:

rot= - ¶/¶t = - m_оm¶/¶t; rot rot= -m_оm¶/¶t(rot) = - m_оme_оe¶²/¶t² = - (1/u²)¶Е²/¶t²rot = ¶/¶t = e_оe ¶/¶t;

Из векторного анализа известно, что rot rot = grad div– D, но grad divº 0 и тогда

D= 1/u²)¶²/¶t², где D = ¶²/¶х² + ¶²/¶у² + ¶²/¶z² - оператор Лапласа - сумма вторых частных производных по пространственным координатам.

В одномерном случае получаем дифференциальное уравнение в частных производных, называемое волновым:

¶²/¶х² - 1/u²)¶²/¶t² = 0

Такого же типа уравнение получается и для индукции магнитного поля. Его решением является бе­гущая плоская монохроматическая волна, задавемая уравнением:

= cos (wt – kх + j) и =cos (wt – kх + j), где w/k = u = 1/Ö(m_оme_оe) - фазовая скорость волны.

Векторы и изменяются синфазно во времени, но во взаимно перпенди­кулярных плоскостях и перпендикулярно направлению распространения (скорости волны): ^ , ^ , ^ .

Свойство взаимоперпендикулярности векторов и и и позволяет отнести электромагнит­ную волну к поперечным волнам.

В вакууме электромагнитная волна распространяется со скоростью света u = с = 1/Ö(e_оm_о) = 3×10⁸ м/с, а в вещественной среде волна замедляется, ее скорость убывает в Ö(em) раз, то есть u = с/Ö(em) = 1/Ö(e_оm_оem).

В каждой точке пространства значения векторов и пропорциональны друг другу. Отношение напряжённостей электрического и магнитного полей определяется электрическими и магнитными свойствами (проницаемостями e и m) среды. Это выражение связано с равенством объемных плотностей энергий w_э и w_м электрического и магнитного полей волны:

w_э = e_оeЕ²/2 = w_м = m_оmН²/2 Þ Е/Н = Ö(m_оm/e_оe).

Отношение Е/Н, как нетруд­но видеть, имеет размерность сопротивления: В/м: А/м = В/А = Ом. Применительно к вакууму, например, Е/Н = Ö(m_о/e_о) = 377 Ом - называется волновым сопро­тивлением вакуума. Отношение же Е/В = 1¤Ö(e_оm_о) = с = 3×10⁸ м/с (в вакууме).

Распространя­ющиеся в пространстве электромагнитные колебания (электромагнитные волны) переносят энергию без переноса вещества - энергию электрического и магнит­ного полей. Ранее мы получали выражения для объёмных плотностей энергии электрического и магнитного полей:

w_э = e_оeЕ²/2 и w_м = m_оmН²¤2 [Дж /м³].

Основной характеристикой переноса энергии волной является вектор пло­тности потока энергии, называемый (применительно к электромагнитным волнам) вектором Пойнтинга, численно равный энергии, переносимой через единицу пло­щади поверхности нормальной к направлению распространения волны, за единицу времени: [] = Дж/м²с = Вт/м².

За единицу времени через единичную площадку пройдёт вся та энергия, ко­торая содержится в объеме V параллелепипеда (цилиндра) с основанием в 1 м² и высотой равной скорости u распростра­нения волны, то есть пути, проходимому волной за единицу времени:

S = wV = wu = (w_э + w_м)¤Ö(e_оm_оem) = e_оeЕ²¤2Ö(e_оm_оem) + m_оmН²¤2Ö(e_оm_оem) = [Ö(e_оe ¤m_оm)]Е²/2 + [Ö(m_оm ¤e_оe)] Н²/2.

Так как Е/Н = Ö(m_оm/e_оe), то S = ЕН/2 + НЕ/2 = ЕН.

В векторной форме вектор Пойнтинга выразится как произведение векторов напряженностей электрического и магнитного полей: = [] = w.

Простейшим излучателем электромагнитных волн служит электрический диполь, момент которого изменяется с течением времени. Если изменения электри­ческого момента носят повто­ряющийся, периодический характер, то такой "ко­леблющийся диполь" называется осциллятором или элементарным вибратором. Он представляет собой простейшую (элементарную) модель излу­чательной сис­темы в электродинамике. Любой электронейтральный излучатель с размерами L << l в так называемой волновой или дальней зоне (при r >> l) имеет та­кое же поле (характер распреде­ления в пространстве) излучения, как и ос­циллятор с равным дипольным моментом.

Осциллятор называют линейным или гармони- ческим, если у него дипольный момент изменяется по гармониче­скому закону: Р = Р_м sin wt; Р_м = q l.

Как показывает теория излучения, мгновенная мощность N излучения элек­тромагнитных волн гармони­ческим осциллятором пропорциональна квадрату вто­рой производной изменения его дипольного момента, то есть:

N ~ ïd²Р/dt²ï²; N = m_оïd²Р/dt²ï²/6pс = m_оw⁴Р_м²sin² wt/6pс.

Средняя мощноcть < N > излучения диполя за период колебаний равна:

< N > = (1/Т)N dt = m_оw⁴Р_м²/12pс

Обращает на себя внимание четвертая степень частоты в формуле для мощности излучения. Во многом поэтому для передачи радио- и телеинформации используются высокочастотные несущие сигналы.

Диполь излучает неодинаково в различных направлениях. В волновой (дальней) зоне интен­сивность J излучения диполя: J ~ sin² q ¤r², где q - угол между осью диполя и направлением излу­чения. Зависимость J (q) при фиксированном r называется полярной диаграммой направленности излучения диполя. Она имеет вид восьмёрки. Из неё видно, что диполь сильнее всего излучает в направлении q = p/2, то есть в плоскости перпендикулярной оси диполя. Вдоль собственной оси, то есть при q = 0 или q = p, диполь совершенно не излучает электромагнитные волны.

Уравнение бегущей монохроматической волны Е = Е_м cos (wt – kх + j) является идеализа­цией реального волнового процесса. В действительности ему должна соответствовать бесконечная во времени и пространстве последовате­льность горбов и впадин, перемещающаяся в положитель­ном направлении оси х со скоростью u = w/k. Эта скорость называется фазовой, ибо представляет собой быстроту перемещения в пространстве эквифазовой поверхности (поверх­ности постоянной фазы). Действительно, уравнение эквифазовой поверхности имеет вид: Ф = (wt – kх + j) = const или, иначе, dФ = 0, то есть wdt - kdх = 0, откуда dх/dt = u = w/k.

Реальные волновые процессы ограничены во времени, то есть имеют начало и конец, и у них меняется амплитуда. Их аналитическое выражение может быть представлено в виде набора, группы, пакета волн (монохроматических):

Е =Е_{м w} cos (wt – k_w х + j_w)dw

с близкими частотами, лежащими в узком интервале от w - Dw/2 до w + Dw/2, где Dw << w и близ­кими (не сильно различающимися) спектральными плотностями амплитуды Е_{м w}, волновыми числами k_w и начальными фазами j_w.

При распространении в вакууме волны любой частоты имеют одинаковую фазовую ско­рость u = с = 1¤Ö(e_оm_о) = 3×10⁸ м/с, равную скорости света. В вещественной среде за счёт взаимодействия электромагнитной волны с заряженными частицами (электронами прежде всего) скорость распространения волн начинает зависеть от свойств среды, её диэлектрической, и магнитной проницаемостей, согласно формуле: u = 1/Ö(e_оm_оem).

Диэлектрическая и магнитная проницаемости вещества оказываются зави­сящими от частоты (длины) электромагнитной волны, а, следо­вательно, и фазовая скорость распро­странения волны в веществе оказывается разной для разных её частот (длин волн). Этот эффект называется дисперсией электромагнитных волн, а среды называют диспергирующими. Веществен­ная среда может быть не диспергирующей лишь в некотором, не очень широком диапазоне частот. Совершенно не диспергирующей средой является лишь вакуум.

При распространении в диспергирующей среде волнового пакета, составляю­щие его волны с различающимися частотами будут обладать различными скорос­тями и с течением времени будут "разъезжаться" друг относительно друга. Волновой пакет будет в такой среде постепенно расплываться, рассеиваться, что и отражается термином "дисперсия".

Для характеристики скорости распространения волнового пакета как це­лого принимают скорость распространения его максимума - центра пакета волн с наибольшей амплитудой. Эту скорость называют групповой и, в отличие от фазовой скорости u = w/k, она определяется не через отношение w/k, а через производную u = dw/dk.

Естественно, что в вакууме, то есть в отсутствие дисперсии, фазовая ско­рость (быстрота переме­щения эквифазовой поверхности) и групповая (быстрота переноса энергии волной) совпа­дают и равны скорости света. Понятие групповой скорости, определяемое через производную (быстроту изменения угловой часто­ты с ростом волнового числа) применимо только для несильно дисперги­рующих сред, где не очень сильное поглощение электромагнитных волн. Получим фор­мулу взаи­мосвязи групповой и фазовой скоростей:

u = dw/dk = u - (kl/k)×du/dl = u - l×du/dl.

В зависимости от знака производной du/dl, групповая скорость u = u - l×du/dl может быть как меньше, так и больше фазовой скорости u электромагнитной волны в среде.

В отсутствие дисперсии du/dl = 0, и групповая скорость равна фазовой. При положительной производной du/dl > 0, групповая скорость меньше фазовой, имеем случай, называемый нормаль­ной дисперсией. При du/dl < 0, групповая скорость волн больше фазовой: u > u, этот слу­чай дисперсии называют аномальной дисперсией.

Причины и механизм явления дисперсии просто и наглядно можно проиллюстри­ровать на примере прохождения электромагнитной волны через диэлектрическую среду. В ней переменное электрическое поле взаимодействует со связанными в атомах вещества внешними электронами. Напряжённость электрического поля электромагнитной волны играет для электрона роль периоди­ческой вынуждающей силы, навязывающей ему вынужденное колебательное движение. Как мы уже ана­лизировали, амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты выну­ждающей силы, и в этом и кроются причины дисперсии электромагнитных волн в веществе и зави­симости диэлектрической проницаемости вещества от частоты электромагнитной волны.

При смещении электрона, связанного с атомом, на расстояние х от положения равновесия, атом прибретает дипольный момент р = q_ех, а образец в целом - есть макродиполь с поляризованностью Р = nр = nq_еx, где n - число атомов в единице объёма, q_е – заряд электрона.

Из связи векторов и можно выразить диэлектрическую восприимчивость a, проницаемость e, а затем скорость u электромагнитной волны в веществе:

Р = e_оaЕ = nq_ех Þ a = nq_ех/e_оЕ; e = 1 + a = 1 + nq_ех/e_оЕ; u = с/Ö(em)» с/Öe (при m» 1). Для небольших х: u = с/Ö(1 + nq_ех/e_оЕ)» с/(1 + nq_ех/2e_оЕ).

Отталкиваясь от второго закона Ньютона для упруго связанного с атомом электрона, находящегося в возмущающем электрическом поле Е = Е_мcos wt электромаг­нитной волны, найдём его смещение х от положения равновесия в атоме. Полагаем, что смещение х электрона изменяется по закону вынуждающей силы, то есть х = Х_мсоs wt.

ma = - kх – ru + F_вын; mх^¢¢ = - kх – rх^¢ + q_еЕ, или, при r = 0 Þ х^¢¢ + w_о²х = q_еЕ_мcos wt/m,

где w_о² = k/m – собственная частота колебаний электрона, упруго связанного с атомом.

Подставляем решение х = Х_мсоs wt в полученное дифференциальное уравнение вынужденных колебаний электрона:

- w²х + w_о²х = q_еЕ_м cos wt/m Þ х = q_еЕ_м cos wt/[m(w_о² - w²)] = q_еЕ/[m(w_о² - w²)]

Подставляем полученное выражение для смещения х в формулу для фазовой скорости электромагнитной волны:

u» с/(1 + nq_ех/2e_оЕ) = с/[1 + nq_е²/2me_о(w_о² - w²)]

На частоте w = w_о фазовая скорость u электромагнитной волны обращается в ноль.

На некоторой частоте w_р, при которой nq_е²/me_о(w_о² - w_р²) = - 1, фазовая скорость волны претерпевает разрыв. Значение этой «резонансной» частоты w_р = w_о + nq_е²/me_о» 10¹⁷ с^-1.

Изобразим полученную зависимость фазовой скорости от частоты и от длины волны. Разрывный характер зависимости u(w), называемой дисперсионной, связан с тем, что мы пренебрегли сопротивлением среды и диссипа­цией энергии колебаний, положив коэффициент сопротивления r = 0. Учет трения приводит к сглаживанию дисперсионной кривой и устранению разрывов.

Так как частота w и длина волны l обратно пропорциональны (w = 2pn = 2pс/l), то график дисперсионной зависимости u(l) обратен графику u(w).

На участке нормальной дисперсии 1 - 2 фазовая скорость u больше скорости света в вакууме. Это не противоречит теории относительности, ибо реальный сигнал (информация, энергия) передаются с групповой скоростью u, которая здесь меньше скорости света.

Групповая скорость u = u - l×du/dl превышает скорость света с в вакууме на участке аномальной дисперсии 2 – 3, где фазовая скорость u убывает с ростом длины волны l и производная du/dl < 0. Но в области аномальной дисперсии имеет место сильное поглощение, и понятие групповой скорости становится неприменимым.

Лекция 16. Представления о пространстве и времени в современной физике. Объединение пространства со временем в СТО. Относительность классических понятий одновременности, длины и длительности.

В 1905 г А. Эйнштейн впервые оформил в теоретическую систему кинематические, т. е. простран­ственно-временные представления, «подсказанные» опытом анализа движений с большими, так называемыми релятивистскими (соизмери­мыми со скоростью света с = 3×10⁸ м/с в вакууме) скоростями.

В механике Ньютона пространственно-временные представления специ­ально не выделялись и фактически считались очевидными, согласующимися с наглядным опытом медленных движений. Однако предпринятые в XIX в попытки объяснить исходя из этих представлений особенности распространения такого релятивистского объекта как свет, приводили к противоречию с опытом (опыт Майкельсона, 1881 г, 1887 г. и др.). Анализируя возникшую проблемную ситуацию, А. Эйнш­тейн сумел в 1905 г сформулировать два основополагающих утверждения, на­зываемых постулатами (принципами), согласующихся с опытом релятивистских (высокоскоростных) движений. Эти утверждения, получившие название посту­латов Эйнштейна, составили основу его специальной (частной) теории отно­сительности.

1. Принцип относительности Эйнштейна: все законы физики инвариантны по отношению к выбору инерциальной системы отсчета (ИСО), т. е. в любых ИСО законы физики имеют одинаковый вид, не зависят от произвола субъекта (ученого) в выборе ИСО. Или, иначе - все ИСО равноправны, отсутствует какая-либо привилегированная, избранная, абсолютная[5] ИСО. Или, еще - никакими физи­ческими опытами, проводимыми внутри ИСО, нельзя определить, движется она с постоянной скоростью или покоится. Этот принцип согласуется с принципом объективности познания.

До Эйнштейна в механике был известен принцип относительности Галилея, который был ограничен рамками только механических явлений и законов. Эйнштейн фактически обобщил его на любые физические явления и законы.

2. Принцип инвариантности (постоянства) и предельности скорости света. Скорость света в вакууме конечна, одинакова во всех ИСО, т. е. не зависит от относительного движения источ­ника и приемника света и является преде­льной скоростью передачи взаимодействий. Этот принцип закреплял в физике концепцию близкодействия, сменившую господствовавшую ранее концепцию дальнодействия, основывающуюся на гипотезе о мгновенности передачи взаимо­действий.

Из двух принципов (постулатов) Эйнштейна вытекают важнейшие для кинематики, более общие, чем классические (галилеевские) преобразования, то есть фор­мулы взаимосвязи пространственных и временной координат x, y, z, t одного и того же события[6], наблюдаемого из разных ИСО.

Возьмем частный случай выбора двух ИСО, при котором одна из них, обозначае­мая (К), дви­жется относительно дру­гой, обозначаемой (К^¢), со скоростью V вдоль оси х. В начальный момент времени начала координат О и О^¢ обеих ИСО сов­падали, и оси Y и Y^¢, а также Z и Z^¢, тоже совпа­дали. Для этого случая формулы преобразова­ния пространственно-временных координат одного и того же события при переходе от одной ИСО к другой, назы­ваемые преобразованиями Лоренца, имеют следующий вид:

х^¢ = (х - Vt)/Ö(1 - V²/с²); у^¢ = у; z^¢ = z; t^¢ = (t - Vх/с²)/Ö(1 - V²/с²) -

- прямые преобразования Лоренца (из ИСО (К) в ИСО (К^¢);

х = (х^¢ + Vt^¢)/Ö(1 - V²/с²); у = у^¢; z = z^¢; t = (t^¢ + Vх^¢)/Ö(1 - V²/с²) -

- обратные преобразования Лоренца (из ИСО (К^¢) в ИСО (К).

Преобразования Лоренца являются более общими, по сравнению с преобразованиями Галилея, которые они содержат в себе как частный, предельный случай, справедливый при малых, дорелятивистских скоростях (u << с и V << с) движений тел и ИСО. При таких, «клас­сических» скоростях, Ö(1 – V²/с²)» 1, и преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея:
х^¢ = х - Vt; у^¢ = у; z^¢ = z; t^¢ = t и х = х^¢ + Vt^¢; у = у^¢; z = z^¢; t = t^¢

В таком соотношении формул преобразования Лоренца и Галилея находит свое проявле­ние важный методологический принцип научно-теоретического познания - принцип соответст­вия. Согласно принципу соответствия, научные теории диалектически развиваются по пути ступенчатого обобщения - расширения своей предметной области. При этом более общая теория не от­меняет прежнюю, частную, а лишь вскрывает ее ограниченность, очерчивает границы и пределы ее справедливости и применимости, и сама сводится к ней в области этих границ.

Термин "специальная" в названии теории относительности Эйнштейна озна­чает как раз, что она сама является ограниченной (частной) по отношению к другой, тоже созданной А. Эйнштейном теории, получавшей название "общая теория относительности". Она обобщает специальную теорию относительности на любые, не только инерциальные системы отсчета.

Из преобразований Лоренца вытекает ряд кинематических следствий, про­тиворечащих наглядным классическим представлениям и давшим основание назвать релятивистскую кине­матику и релятивистскую механику в целом теорией относительности.

Что же относительно, то есть, зависимо от выбора ИСО в СТО? Прежде всего, относи­тельным оказывается факт одновременности двух событий, а также длина тела и длительность процесса. В релятивистской динамике в разряд относительных переходит сила, а у некоторых ученых и масса. Следует, однако, помнить, что главным в любой теории является не относительное, а инвариантное (устойчивое, сох­раняющееся, неизменное). Релятивистская механика, вскрывая относительность одних понятий и величин, заменяет их другими инвари­антными величинами, такими, например, как комбинация (тензор) энергии-импульса.

1. Относительность одновременности собы­тий.

Пусть в ИСО (К) происходят два события, зада­ваемые координатами x_1, y_1, z₁, t₁ и x_2, y_2, z₂, t₂, причем t₁ = t_2, т. е. в ИСО (К) эти события происходят одно­временно.

Громадной заслугой Эйнштейна явилось привлечение внимания к тому, что в классической механике Галилея - Ньютона совершенно не было определе­но, как фиксиро­вать факт одновременности двух событий, находящихся в разных местах. Интуитивно, в соответствии с принципом дальнодействия, пред­полагающим бесконечной скорость распро­странения взаимодействий (что дос­таточно оправдано для медленных движений), считалось очевидным, что раз­несенность событий в пространстве не может влиять на характер их времен­ного соотношения. Эйнштейн же предложил строгий способ установления фак­та одновремен­ности разноместных событий, основанный на размещении в этих местах синхронизированных часов. Синхронизировать часы он предложил с помощью реального сигнала, обладающего наивысшей скоростью - светового сигнала. Одним из способов синхронизации часов в конкретной ИСО является такой: часы, находящиеся в точке с координатой х будут синхронизированы с единым центром в точке 0 - начале ИСО, если в момент прихода к ним светового сигнала, испущенного из точки 0 в момент t_о, они покажут время t_х = t_о + х/c.

Так как синхронизация осуществляется сигналом, обладающим предельно высо­кой, но не бесконечной скоростью, то часы, синхро­низи­ро­ванные в одной ИСО, окажутся разсинхрони­зиро­ванными в другой (и во всех других) ИСО в силу их относительного движения. Следствием этого и является относительность одновременности разноместных событий и относительность временных и пространственных интерва­лов (длительностей и длин).

Формально этот вывод следующим образом вытекает из преобразований Лоренца:
в ИСО (К^¢) событию 1 соответствует момент времени t₁^¢ = (t₁ - Vх₁/с²)/Ö(1 - V²/с²), а событию 2 ® момент t₂^¢ = (t₂ – Vх₂/с²)/Ö(1 – V²/с²), так, что при t₁ = t₂, t₂^¢ – t₁^¢ = [(х₁ – х₂)V/с²]/Ö(1 – V²/с²), и два события 1 и 2, одновременные в одной ИСО – в ИСО (К), оказываются неодновременными в другой (в ИСО (К^¢).

В классическом (дорелятивистском) пределе, при V << с, t₂^¢ – t₁^¢ » 0, факт одновременно­сти двух событий становится аб­солютным, что, как уже говорилось, соответствует бесконечной скорости передачи взаимодействий и синхронизирующего сигнала: с ® ¥ или с >> V.

В релятивистской теории одновременность событий оказывается абсолют­ной лишь
в частном случае одноместных событий: при х₁ = х₂ всегда при t₁ = t₂ и t₁^¢ = t₂^¢.

2. Относительность длины тел (пространственных интервалов).

Пусть в ИСО (К) вдоль оси х покоится стержень длиной l _о = х₂ – х₁.

ИСО, в которой тело покоится, называется собственной для данного тела, а его характеристики, в данном случае длина стержня, также называются собственны­ми.

В ИСО (К^¢), относительно которой стержень движется, и которая называется лаборатор­ной ИСО, длина стержня l ^¢ = х₂^¢ - х₁^¢ определяется как разность координат концов стержня, зафиксированных одновременно по часам данной ИСО, т. е., при t₁^¢ = t₂^¢.

Используя формулы преобразований Лоренца для х₁ и х₂, содержащие время в штрихованной ИСО (К^¢), установим взаимосвязь l и l ^¢:

х₁ = (х₁^¢ + Vt₁^¢)/Ö(1 - V²/с²); х₂ = (х₂^¢ + Vt₂^¢)/Ö(1 - V²/с²); Þ х₂ - х₁ = (х₂^¢ - х₁^¢)/Ö(1 - V²/с²)

или окончательно: l ^¢ = l _оÖ(1 - V²/с²) – эта формула выражает закон прео­бразования длин
(пространственных интервалов), согласно которому в на­правлении перемещения размеры тел сокращаются. Этот эффект относитель­ности длины тел, их релятивистского сокращения в направлении перемещения, является реальным, а не кажущимся физическим эффектом, но не динамичес­ким, не связанным с каким-либо силовым воздействием, вызывающем сжатие тел и сокращение их размеров. Этот эффект является чисто кинематическим, связанным с выбранным способом определения (измерения) длины и конечно­стью скорости распростране­ния взаимодействий. Его можно пояснить и так, что понятие длины перестало в СТО быть характеристикой только одного тела, самого по себе, а стало совместной характеристикой тела и системы отсчета (подобно скорости тела, его импульсу, кинетической энергии и т. п.).

Такие характеристики, изменяются для разных тел в одной и той же ИСО, что естест­венно и привычно для нас. Но так же, хотя и менее привычно, они изменяются и для одного и того же тела, но в разных ИСО. При малых скоростях движения этот эффект зависимости длины тела от выбора ИСО практически незаметен, почему в механике Ньютона (механике медлен­ных движений) он и не обращал на себя внимания.

Подобный же анализ преобразований Лоренца на предмет выяснения соотно­шения между длительностями двух процессов, измеряемыми из разных ИСО, одна из которых является собст­венной, т. e. движется вместе с носителем процесса и измеряет его длительность (разностьмоментов конца и начала процесса) _о одними и теми же часами, приводит к следующим результатам:

^ = _о(1 - V²с²), где _о - собственная длительность процесса (отсчитываемая одними и теми же часами, движущимися вместе с происходящими событиями, а ^ - длительность того же процесса, от­считываемая разными часами в ИСО, относительно которой носитель процесса движется и в моменты начала и конца процесса он находится в разных ее местах.

Иногда этот эффект интерпретируют так: говорят, что движущиеся часы идут медленнее неподвижных, и отсюда выводят ряд парадоксов, в частности парадокс близнецов. Следует отметить, что вследствие равноправия всех ИСО в СТО, все кинематические эффекты (и сокра­щения длины в направлении движения, и замедления времени - длительности движущимися относительно носителя процес­са часами) являются обратимыми. И хороший пример такой обратимости пред­ставляет собой опыт с мю-мезонами, нестабильными частицами, образую­щимися в результате взаимодействия с атмосферой, бомбардирующих ее космических лучей. Физиков вначале удивило существование этих частиц на уровне моря, где они должны были бы распасться за время их жизни, т. е. не успеть до­лететь от верхних слоев атмосферы (где они образуются) до уровня моря.

Но дело оказалось в том, что физики вначале применили в расчетах соб­ственное время жизни -мезонов _о = 210^-6 с, а расстояние, проходимое ими брали лабораторное, то есть
l = 20 км. Но либо в таком случае нужно и длину (путь, проходимый -мезонами) брать собственную, которая оказывается "сокращенной", "укороченной" соответственно множителю (l –V²/с²). Либо нужно не только длину, но и время брать лабораторным, а оно возрас­тает пропорционально 1/(l–V²/с²). Таким образом, релятивистские эффекты преобразования временных и пространственных интервалов позволили физикам увязать концы с концами в реальном эксперименте и явлении природы.

При малых скоростях V  с релятивистская формула преобразо­вания длительностей процессов переходит в классическую   ^. Соответственно длительность в этом предельном случае (приближении) теряет реля­тивистскую относительность и становится абсолютной, т. е. не зависящей от выбора ИСО.

Пересматривается в СТО и закон сложения скоростей. Его релятивистскую (общую) форму можно получить, взяв дифференциалы от выражений для х, х^, t и t^, в формулах преобра­зований Лоренца и, поделив dх на dt и dх^ на dt^, то есть, образовав из них скорости
_х = dх/dt и _х^ = dх^/dt^.

dх = (dх^ + Vdt^)/(l –V²/с²); dt = (dt^ + Vdх^/с²)/(l –V²/с²); 

dх/dt = (dх^ + Vdt^)/(dt^ + Vdх^/с²) = (dх^/dt^ + V)/[1 + V(dх^/dt^)/с²]  _х = (_х^ + V)(1 + V_х^/с²)

dх^ = (dх - Vdt)/(l –V²/с²); dt^ = (dt - Vdх/с²)/(l –V²/с²); 

dх^/dt = (dх - Vdt)/(dt - Vdх/с²) = (dх/dt - V)/[1 - V(dх/dt)/с²]  _х^ = (_х - V)(1 - V_х/с²)

Формулы _х = (_х^ + V)(1 + V_х^/с²) и _х^ = (_х - V)(1 - V_х/с²) и выражают собой
реля­тивистские законы сложения скоростей или, иначе говоря, преобразования скоростей
при пере­ходе от ИСО (К) к ИСО (К^) и наоборот.

В дорелятивистском пределе малых скоростей   c эти формулы переходят в хорошо известные выражения классического (галилеевского) закона сложе­ния скоростей: _х = _х^ + V и _х^ = _х – V.

Интересно проследить, как релятивистская форма закона сложения скоростей согласована с принципом постоянства скорости света во всех ИСО. Если в ИСО (К^) имеем скорость _х^ = с и ИСО (К^) движется относительно ИСО (К) тоже со скоростью V = с, то и относительно ИСО (К) скорость света будет по пре­жнему равна с:

_х = (_х^ + V)(1 + V_х^/с²) = (с + с)(1 + сс/с²) = с. Классический же закон сложения приводил к результату: _х = _х^ + V = с + с = 2с, т. е. противоречил опыту, ибо не содержал
в себе ограничений на "потолок" скоростей.

Дата добавления: 2014-01-06