Операции над высказываниями. Алгебра высказываний

Введем операции над высказываниями так же, как мы это делали для булевых функций.

Отрицанием высказывания А называется высказывание Ø А, которое истинно тогда и только тогда, когда высказывание А ложно. Чтобы составить отрицание А достаточно в разговорном языке сказать “неверно, что А ”.

Пример 1.3.

А = “Каспаров – чемпион мира по шахматам”.

Ø А = “Неверно, что Каспаров – чемпион мира по шахматам”.

Отрицание определяется следующей таблицей истинности (таблица 1.1):

Таблица 1.1

А	Ø А
Л И	И Л

Конъюнкцией двух высказываний А и B называется высказывание А & B, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания А и B. В разговорной речи конъюнкции соответствует союз “и”.

Пример 1.4.

А = “Треугольник прямоугольный”.

B = “Треугольник равнобедренный”.

А & B = “Треугольник прямоугольный и равнобедренный”.

Конъюнкция определяется следующей таблицей истинности (таблица 1.2):

Таблица 1.2

А B	А & B
Л Л Л И И Л И И	Л Л Л И

Дизъюнкцией двух высказываний А и B называется высказывание А V B, ложное тогда и только тогда, когда ложны оба высказывания А и B. В разговорной речи дизъюнкции соответствует союз “или”.

Пример 1.5.

А = “Иванов юрист”.

B = “Иванов экономист”.

А V B = “Иванов юрист или экономист”.

Дизъюнкция определяется следующей таблицей истинности (таблица 1.3):

Таблица 1.3

А B	A V B
Л Л Л И И Л И И	Л И И И

Импликацией двух высказываний А и B называется высказывание А É B, ложное тогда и только тогда, когда А истинно, а B ложно. Импликации соответствуют следующие выражения разговорной речи: “ А влечет за собой B ”; или “из А следует B ”; или “если А, то B ”.

Пример 1.6.

А = “Треугольник равносторонний”.

B = “В треугольнике все углы равны”.

А É B = “Если треугольник равносторонний, то все углы равны”.

Импликация определяется следующей таблицей истинности (таблица 1.4):

Таблица 1.4

А B	А É B
Л Л Л И И Л И И	И И Л И

Импликация играет важную роль в логике высказываний. При учете смыслового содержания высказывания (а не только значений истинности), оборот “если, то” подразумевает причинно-следственную связь. Истинность импликации означает лишь то, что, если истинна посылка, то истинно и заключение. При ложной посылке заключение всегда истинно. Так, истинными являются следующие импликации: “Если в доме 5 этажей, то Иванов живет в квартире 50”; “Если идет снег, то 2 2 = 5”.

Пример 1.7.

Рассмотрим четыре высказывания:

A = “Дважды два четыре” = И;

B = “Дважды два пять” = Л;

C = “Снег белый” = И;

D – “Снег черный” = Л.

Образуем четыре импликации:

А É C = “Если дважды два четыре, то снег белый” = И É И = И;

B É C = “Если дважды два пять, то снег белый” = Л É И = И;

А É D = “Если дважды два четыре, то снег черный” = И É Л = Л;

B É D = “Если дважды два пять, то снег черный” = Л É Л = И.

Эквивалентностью двух высказываний А и B называется высказывание А ~ B, истинное тогда и только тогда, когда оба высказывания А и B одновременно истинны или ложны. Говорят, что А эквивалентно B или A имеет место тогда и только тогда, когда имеет место B.

Пример 1.8.

А = “Треугольник равнобедренный”.

B = “В треугольнике углы при основании равны”.

А ~ B = “Треугольник является равнобедренным тогда и только тогда, когда углы при основании равны”.

Эквивалентность определяется следующей таблицей истинности (таблица 1.5):

Таблица 1.5

А B	А ~ B
Л Л Л И И Л И И	И Л Л И

Высказывания вместе с определенными для них операциями образуют алгебру высказываний.

Дата добавления: 2014-01-07