Матричная форма уравнений узловых напряжений

Использование уравнений узловых напряжений приводит к изменению порядка расчета: вначале определяются значения напряжений в узлах схемы. Тогда количество неизвестных уменьшается до n числа независимых узлов расчетной схемы.

Матричное уравнение узловых напряжений может быть получено путем следующих преобразований:

1.из закона Ома выразим вектор токов в ветвях

I = Z_B^-1 (U_B + E_В) (1.7)

Z_B^-1 = Y_В =

- матрица проводимостей ветвей

где Y_Вi = 1/ Z_Вi

2.подставим выражение (1.7) в матричное уравнение I закона Кирхгофа

М Y_В(U_B + E_В) = J

3.используя уравнение связи между узловыми напряжениями и падениями напряжений в ветвях U_B [1].

U_B = M_t U_Δ,

получим матричное уравнение вида:

М Y_В(M_t U_Δ+ E_В) = J

М Y_ВM_t U_Δ = J - М Y_В E_В (1.8)

Произведение трех матриц (1.8) позволяет получить матрицу узловых проводимостей:

Y_Δ = М Y_ВM_t (1.9)

Общий вид уравнения узловых напряжений:

Y_Δ U_Δ = J - М Y_В E_В (1.10)

Для большинства реальных схем замещения нагрузка и генерация моделируются с помощью задающих векторов, поэтому ЭДС в ветвях отсутствует. Тогда при E_В = 0 уравнение узловых напряжений примет вид:

Y_Δ U_Δ = J (1.11)

где

U_Δ = [U_i – U_B] = - вектор узловых напряжений

J = - вектор задающих токов

Y_Δ = – матрица узловых проводимостей

Структура Y_Δ определяется физическим смыслом ее элементов:

-на главной диагонали расположены собственные проводимости узлов Y_ii – равные сумме проводимостей ветвей, соединенных с узлом i;

-симметрично относительно главной диагонали расположены взаимные проводимости ветвей Y_ij = Y_ji, которые равны проводимости ветви, находящейся между узлами i и j, или нулю при отсутствии связи между узлами.

Матрица Y_Δ является симметричной и слабозаполненной, т.е. содержит большое количество нулевых элементов. Эти свойства позволяют реализовать на ЭВМ эффективные алгоритмы расчета режимов с учетом слабой заполненности.

Пример 1.6

Записать матричное уравнение узловых напряжений для расчетной схемы и перейти к системе уравнений (все узлы расчетной схемы нагрузочные)

Y₁ = 10 J₁ = -10

Y₂ = 15 J₂ = -30

Y₃ = 20 J₃ = -55

Y₄ = 13

Y₅ = 16

1.Составим матрицу инциденций первого рода

1 2 3 4 5

М =

- - - - -

Б 1 0 -1 0 1

2.Найдем транспонированную матрицу

М_t =

3.Определим матрицу узловых проводимостей

Y_Δ = М Y_ВM_t = _. . =

=_. =

4.В матричной форме уравнение узловых напряжений имеет вид

. =

5.Перейдем к системе уравнений

25U_Δ1 - 15 U_Δ2 + 0 U_Δ3 = -10

-15 U_Δ1 + 47 U_Δ2 -12 U_Δ3 = -30 (1.12)

0 U_Δ1 - 12 U_Δ2 +28 U_Δ3 = -55

Используя уравнений узловых напряжений, можно провести расчет установившегося режима в следующей последовательности:

1.решая систему уравнений вида (1.12),определяем значение узловых напряжений U_Δi.

2.из уравнении связи параметров режима [1] находим падение напряжения в ветвях

U_В = M_t U_Δ

3.из уравнения закона Ома (1.1) определяются токи в ветвях схемы

I = Y_B(U_B + E_B)

4.по известным значениям I и U_Δ Определяются остальные параметры режима P, Q, ΔP, ΔQ и т.д.

Задание 4.

1. Для расчетной схемы Вашего варианта вычислите матрицу узловых проводимостей Y_Δ.

2. Составьте матрицу Y_Δ без перемножения матриц с учетом физическо- го смысла её элементов. Сравните полученный результат с матрицей Y_Δ, вычисленной в п.1.

3. Записать уравнение узловых напряжений в матричной форме и в виде системы уравнений.

Дата добавления: 2014-01-06