Условие перпендикулярности прямой и плоскости

Угол между прямой и плоскостью

Углом между прямой и плоскостью (если они неперпендикулярны) называется меньший из двух углов между этой прямой и ее ортогональной проекцией на эту плоскость. Если же прямая и плоскость перпендикулярны, то угол между ними считается равным .

Пусть относительно декартовой прямоугольной системы координат заданы плоскость общим уравнением

и прямая р каноническими уравнениями

.

Косинус угла между вектором перпендикулярным данной плоскости и направляющим вектором данной прямой по абсолютной величине равен синусу угла между данной прямой и данной плоскостью (рис. 132). Но косинус угла между вектором и равен

,

следовательно, синус угла между данной прямой и данной плоскостью определится по формуле

Если прямая, заданная уравнениями , перпендикулярна плоскости

то направляющий вектор прямой коллинеарен вектору , перпендикулярному данной плоскости. Поэтому координаты этих векторов пропорциональны, т.е. существуют такое отличное от нуля число , что

,

или

.

Обратно, если выполнены эти соотношения, то векторы и коллинеарны, т.е. направляющий вектор данной прямой коллинеарен вектору , перпендикулярному данной плоскости, следовательно, данная прямая и плоскость взаимно перпендикулярны.

Итак, для того чтобы прямая и плоскость, заданная относительно декартовой прямоугольной системы координат, были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы координаты направляющего вектора прямой были пропорциональны коэффициентам при х, у, z в уравнении плоскости.

Клетеник № 976: № 977; № 975.

Дата добавления: 2014-01-07