Кротчайшее расстояние между двумя прямыми

Если две прямые скрещиваются, т.е. не лежат в одной плоскости, то кротчайшее расстояние между ними (как доказывается в элементарной геометрии) есть длина отрезка общего перпендикуляра к этим двум прямым, концы которого лежат на этих прямых. Отсюда следует, что кротчайшее расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно величине ортогональной проекции любого отрезка концы которого лежат на этих прямых (рис. 136) на любую прямую, перпендикулярную к данным; это очевидно при проектировании точек и на общий перпендикуляр к данным прямым; величина проекции не изменится, если спроектировать отрезок на любую прямую, параллельную этому перпендикуляру. Пусть две скрещивающиеся прямые заданы каноническими уравнениями

,

относительно декартовой прямоугольной системы координат. Кратчайшее расстояние между ними равно абсолютной величине проекции вектора

,

начало конец которого лежат соответственно на первой и второй прямых, на прямую, параллельную вектору

,

перпендикулярному направляющим векторам:

;

данных прямых.

Так как

пр. ,

то кротчайшее расстояние d между двумя скрещивающимися вычисляется по формуле

,

или в координатах

.

Отметим, что эта формула верна и для двух пересекающихся прямых: числитель обратится в нуль, а знаменатель отличен от нуля, и мы получим d = 0 в соответствии с определением кротчайшего расстояния между двумя пересекающимися прямыми.

Дата добавления: 2014-01-07