Скорость точки

Уравнение и способы задания движения точки

Знание законов движения тела означает знание законов движения каждой его точки, поэтому изучение кинематики следует начинать с изучения Движения геометрической точки. Для этого необходимо уметь определять ее положение в назначенной системе отсчета в любой момент времени.

Уравнения, определяющие положение движущейся точки в зависимости от времени, называются уравнениями движения.

Для задания движения точки используются два способа: естественный и координатный.

Естественный способ заключается в том, что движение точки задается ее траекторией и уравнением движения по этой траектории (законом движения). Уравнение движения в общем виде записывается следующим образом:

S = f(t)

где S - расстояние точки от начального положения, являющееся функ цией времени;

t - время движения точки от начального момента.

Зная траекторию точки и уравнение движения по этой траектории, можно определить положение точки в любой момент времени, для чего следует в равенство S = f(t) подставить время.

Координатный способ заключается в том, что движение точки задается движением ее проекций вдоль осей координат. "Уравнения плоского движения точки в этом случае записываются следующим образом:

х = f(t), у = f(t)

Зная уравнения движения точки в координатной форме можно, подставив в эти уравнения время, определить положение проекций, а следовательно, и самой точки в любой момент времени (рис. 3).

Рис. 3.

Для того чтобы при координатном способе задания движения точки определить уравнение траектории у = f(x), необходимо из уравнений движения исключить время.

Если точка за равные промежутки времени проходит равные отрезки пути, то ее движение называется равномерным.

При равномерном движении скорость измеряется длиной пути, пройденного за единицу времени, т.е.

Единица скорости:

При прямолинейном равномерном движении скорость постоянна как по модулю, так и по направлению, а ее вектор совпадает с траекторией (рис. 4,а).

При криволинейном движении (рис. 4, б) скорость точки по направлению меняется. Для установления направления вектора скорости, разобьем траекторию на бесконечно малые участки пути ΔS, которые вследствие их малости можно считать прямолинейными. Тогда на каждом участке условная скорость V_n будет направлена по хорде M₀М₁. В пределе при ΔS стремящемся к нулю, хорда совпадает с касательной. Следовательно, скорость при криволинейном движении в каждый момент времени направлена по касательной к траектории в сторону движения.

Рис. 4.

Если точка за равные промежутки времени проходит неравные пути, то ее движение называется неравномерным.

При неравномерном движении точки модуль ее скорости меняется и является функцией времени, т.е.

V = f(t)

Представим себе точку А (рис. 5, а), движение которой задано уравнением S = f (t). Если за промежуток времени Δ t точка прошла путь ΔS, то ее средняя скорость будет равна

Средняя скорость направлена по хорде АА₁.

Истинная скорость есть предел, к которому стремится средняя скорость

при Δt стремящемся к нулю, т.е.

Рис. 5

Таким образом, численное значение скорости будет равно

Истинная скорость при любом движении точки равна первой производной координаты по времени.

Вектор скорости точки может быть разложен на составляющие по координатным осям (рис. 5, б), величины которых равны ее проекциям:

V_x=Vcosa; V_y = Vsina,

где а - угол между осью х и направлением скорости.

При известных значениях проекций скорости на оси координат можно определить ее величину и направление:

Движение, в котором скорость возрастает, называется ускоренным; движение, в котором скорость убывает, -замедленным.

Дата добавления: 2014-01-07