Интегрирование по частям в определенном интеграле

Теорема. Пусть функции и имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда

(32)

Формула (32) называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.

Пример 6. Вычислить определенный интеграл: .

Решение: .

Геометрические приложения определенного интеграла

Вычисление площади плоской фигуры:

Рассмотрим на плоскости Oxy фигуру, ограниченную графиком непрерывной и положительной функции на отрезке , отрезком и вертикальными прямыми и . Эта фигура называется криволинейной трапецией.

Площадь криволинейной трапеции равна определенному интегралу от функции на отрезке :

(33)

Если фигура ограничена сверху и снизу неотрицательными функциями и соответственно, непрерывными на отрезке , то площадь криволинейной фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций, ограниченных сверху графиками и :

(34)

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .

Решение: Сначала вычислим абсциссы точек пересечения указанных кривых:

; ;. Корни этого уравнения: .

Площадь фигуры:

ед.².

Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , ,.

Решение: Площадь данной фигуры удобнее рассматривать относительно оси ординат, а не оси абсцисс. Тогда данная криволинейная трапеция ограничена линиями , ,. В этом случае искомый определенный интеграл имеет вид:

ед.².

Вычисление объема тела вращения:

Рассмотрим тело, которое образуется при вращении вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной сверху непрерывной и положительной на отрезке функцией . Объем этого тела вращения определяется по формуле:

(35)

Если тело образовано вращением криволинейной трапеции вокруг оси Oy, то, выражая x через y как обратную функцию, будет получена формула для объема тела вращения:

,

(36)

где -область изменения функции .

Пример 3. Кривые и вращаются вокруг оси Ox. Найти объем тела вращения.

Решение: Объем тела вращения равен разности объемов, образованных вращением криволинейных трапеций с верхними гранями соответственнои . Пределы интегрирования определяются координатами пересечения этих линий: a=0, b=1.

(ед.³)

Дата добавления: 2014-01-07