Комплексные числа

Определение. Комплексным называется выражение вида , где x и y – действительные числа, - мнимая единица.

Число x называется действительной частью числа z и обозначается Re(z) (от франц. reele – “действительный”), а число y – мнимой частью числа z и обозначается Im(z) (от франц. imaginaire – “мнимый”), то есть x=Re(z), y=Im(z).

Действительное число x является частным случаем комплексного числа при y=0.

Числа и называются сопряженными.

Два комплексных числа называются равными, если равны их действительные и мнимые части.

Арифметические операции над комплексными числами:

1. сумма (разность) комплексных числе: ;

2. произведение комплексных чисел: ;

3. деление двух комплексных чисел: .

Все правила арифметических действий определяются естественным образом из правил сложения и умножения многочленов, если считать, что .

Пример 1. Даны комплексные числа , . Найти .

Решение:

.

Если для геометрического изображения действительного числа используются точки числовой прямой, то для изображения комплексных чисел служат точки координатной плоскости Oxy.

Плоскость называется комплексной, если каждому комплексному числу ставится в соответствие точка плоскости, причем это соответствие взаимно однозначное. Оси Ox и Oy называются соответственно действительной и мнимой осями.

С каждой точкой комплексной плоскости связан радиус-вектор этой точки, длина которого называется модулем комплексного числа z и обозначается :

(42)

Угол f, образованный радиус-вектором точки x с осью Ox, называется аргументом комплексного числа z и обозначается .

Очевидно, что:

(43)

Следовательно комплексное число можно представить в виде:

(44)

Представление комплексного числа в виде (43), где , называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Для возведения комплексного числа в степень, используется формула Муавра:

(45)

Пример 2. Комплексное число представить в тригонометрической форме и возвести в третью степень.

Решение: Найдем модуль комплексного числа по формуле (42): .

Из соотношения (43): . .

Комплексное число можно записать в тригонометрической форме: .

По формуле Муавра: .

Связь между тригонометрической и показательной функциями выражается формулой Эйлера:

(46)

Отсюда следует показательная форма записи комплексного числа:

(47)

Использование комплексных чисел позволяет решать квадратные уравнения, для которых дискриминант меньше нуля.

Пример 3. Решить квадратное уравнение .

Решение: ;

.

Дата добавления: 2014-01-07