Адаптациим модели И.Фишера в маркетинговой кредитной стратегии в усло­виях инфляции

Построенная в п.2.2 модель, учитывающая инфляцию, имеет недоста­ток, связанный с кратностью длительности временного промежутка второ­го периода по отношению к длительности временного промежутка первого периода. Только в этом случае вычисление суммы М₂ в (2.23) корректно в соответствии с (2.24). Кроме того, возникает необходимость в существую­щей и действующей двухвалютной системе [2] учитывать темпы роста курса рубля по отношению к доллару в связи с ведением так называемого «валютного коридора». Поэтому рационально дробление временных про­межутков первого и второго периодов на менее продолжительные интер­валы. Наиболее разумным и корректным, а главное, соответствующим ре­альной действительности, является приведение указанных временных промежутков к продолжительности календарного месяца (n и R_i).

Рассмотрим накопление дохода покупателя в первом периоде, имею­щем n календарных (месячных) интервалов:

- темп роста дохода в календарном интервале;

У₁₁ - доход в начале первого календарного интервала первого периода;

У₁₁(1+) - доход после первого календарного интервала;

У₁₁(1+)² - доход после второго календарного интервала первого пе­риода;

У₁₁(1+)ⁿ - доход соответственно после n-го интервала.

Общий доход за первый период с учетом инфляции

У₁₁[(1+)+(1+)²+…+(1+)ⁿ] = У₁М_D1, (2.32)

где

М_D1 = (1+)ⁿ(1+)(1-) (2.33)

- мультипликатор [9,14] роста дохода в первом периоде.

Рассмотрим накопление дохода во втором периоде, имеющем R_i ка­лендарных (месячных интервалов), в каждом из которых темп роста дохо­да обозначим (общий случай).

В начале второго периода доход покупателя соответствовал доходу n-го интервала первого периода, т.е. У₁₁(1+)ⁿ. Тогда доход после первого интервала, но второго периода составит

У₁₁(1+)ⁿ(1+), (2.34)

а после R_i-го интервала

У₁₁(1+)ⁿ(1+)^Ri, (2.35)

Общий доход за этот период будет

У₁₁(1+)ⁿМ′_D2 = У₁₁М _D2, (2.36)

где

М_D2 = (1+)^Ri (2.37)

-мультипликатор роста доходов во втором периоде. При этом

М_D2= (1+)ⁿМ′_D2. (2.38)

При одинаковых усредненных темпах роста доходов в календарных интервалах первого и второго периодов () общий доход за второй период составит:

У₁₁(1+)^n+Ri = У₁₁М _D2, (2.39)

где М_D2 = (1+)^n+Ri (2.40)

- мультипликатор роста во втором периоде.

Накопление первоначального взноса в первом периоде связано с тем­пом инфляции доллара в период между изменениями «валютного коридо­ра». Поскольку на накапливаемые суммы денег могут быть начислены ре­альные ставки доходности (банковские проценты), в модели предусматри­вается рост денежных накоплений.

Если в начале первого периода стоимость квартиры составляет Р_кв долларов, а к - коэффициент первоначального взноса, то в начале первого календарного периода необходимая сумма составит (в долларах)

кР_кв/n (2.41)

а конец первого интервала первого периода эта сумма будет

, (2.42)

где - темп инфляции в одном периоде;

- реальная процентная ставка для одного календарного интер­вала первого периода;

- темп инфляции рубля по отношению к доллару в «валютном коридоре».

Тогда в начале второго календарного интервала первого периода сум­ма составит

(2.43)

а к концу второго календарного интервала первого периода сумма будет составлять

(2.44)

К концу n -го календарного интервала первого периода накапливаемая сумма будет:

(2.45)

где

(2.46)

- мультипликатор накопления первоначального взноса.

Учитывая соотношение (2.4) и (2.5), можно определить потребление в первом периоде с учетом инфляции

С₁ = У₁₁М_D1 - . (2.47)

Для вычисления потребления С₂ стоимости во втором периоде необходимо найти стоимость квартиры к концу первого периода, т.е. в момент фактической покупки квартиры (в момент внесения первоначального взноса), ее стоимость составит

(2.48)

где

(2.49)

- мультипликатор повышения стоимости квартиры.

Тогда остаточная стоимость, подлежащая выплате к началу второго периода, будет

(2.50)

а разовый кредитный взнос к началу второго периода составит

(2.51)

где Ri - число календарных кредитных выплат второго периода.

Первый кредитный взнос осуществляется в конце первого интервала второго периода, т.е. покупатель выплачивает

=(2.52)

где - темы роста «твердой валюты» при смене во времени соотношений в «валютном коридоре» (правомерно принять );

- средний темп инфляции в интервале второго периода (если продолжительности календарных интервалов (месяц) в первом и во втором периодах одинаковы, то можно с определенной достоверностью принять ).

Второй кредитный взнос осуществляется в конце интервала второго периода и составляет

, (2.53)

а последний Ri -й взнос осуществляется в конце последнего интервала вто­рого периода и составляет

, (2.54)

Просуммировав все кредитные взносы второго периода, получим выплаченное покупателем кредитное погашение во втором периоде

(2.55)

где

(2.56)

- мультипликатор кредитных выплат второго периода.

Тогда потребление во втором периоде будет

(2.57)

Суммарное потребление в двух периодах составляет с учетом (2.47) и (2.57)

(2.58)

Следуя методике построения бюджетной линии (см.п.2.3.2), имеем:

при С₁ = 0 ордината

(2.59)

при С₂ = 0 абсцисса

(2.60)

То есть, C₁ = С₂ по осям координат, а бюджетная линия представляет собой кривую, вогнутую к началу координат, имеющую равные абсциссу и ординату по координатным осям (см.п.2.1).

Выражения (2.47), (2.57), а также функция бюджетной линии (2.60) и характеризуют модель И.Фишера с учетом инфляции.

2.4. Предпочтения потребителя и кривые безразличия без учета инфляции.

Предпочтения потребителя в отношении приобретения квартиры в два межвременных промежутка можно выразить с помощью кривых безразли­чия. Кривая безразличия показывает варианты потребления в первый и второй периоды, которые имеют для потребителя одинаковую полезность и обеспечивают ему один и тот же уровень благосостояния. Рассмотрим кривую безразличия, характеризующую предпочтение потребителя в по­купке, к примеру, трехкомнатной квартиры, учитывая удовлетворение по­купателя, связанное с расположением комнат, санузлов, коридоров, их размеров и прочего. Можно считать, что равная полезность при приобре­тении квартиры будет приблизительно одна и та же при одинаковых стои­мостях квартир. Причем эта стоимость, с точки зрения полезности, оцени­вается каждым покупателем по-разному в зависимости от его состоятель­ности, т.е. от его доходов в первом и втором периодах. Сразу отмечаем, что не покупатель не имеет достаточного количества денег для мгновенной покупки квартиры. Поэтому влияние доходов покупателя в первом и во втором периоде потребления на восприятие той или другой стоимости квартиры должно быть ощутимо. Поэтому равную полезность для кривой безразличия, связанную с покупкой квартиры в кредит при наличии двух межвременных интервалов, можно выразить совместным условием

Р_кв = const;

У₁ = const; (2.61)

У₂ = const;

где Р_кв - стоимость квартиры;

У₁, У₂ - соответственно доходы в первом и во втором периодах.

Условие (2.61) вынуждает рассматривать отдельно кривые безразлич­но для одно-, двух-, трех- и четырехкомнатных квартир, предлагаемых к продаже предприятием.

Следующим необходимым условием является определение перемен­ных параметров, характеризующих кривые безразличия в системе коорди­нат С₁ и C₂/R_max (координата С₁ приведена к величине потребления, прихо­дящейся на календарный период между кредитными взносами). Учитывая, что и стоимость квартиры, и доходы в первом и во втором периодах зави­сят от инфляции, кривые безразличия будут представлять собой вогнутые к началу координат кривые, характеризующиеся предельной нормой заме­щения (MRS) [14]. Учитывая нелинейный характер зависимости в общем случае

C₂ = f(C₁), (2.62)

можно достоверно считать характеристикой кривой безразличия предель­ную норму замещения (MRS) [141, которая математически представляет собой производную [14], т.е.

(2.63)

Поскольку из (2.47) и (2.57) можно получить функции С₂= f () и С₁ = f(), то можно вычислить производные dC₂/dи dC₁/dи, разделив первую на вторую, получить предельную норму замещения (MRS) в соот­ветствии с (2.63).

2.5. Оптимизация вариантов спроса новых квартир.

Рассмотрев бюджетное ограничение потребителя в виде бюджетной линии и потребительские предпочтения в виде кривых безразличия, можно перейти к задаче выбора оптимального варианта потребления в этих пе­риодах. Потребитель всегда заинтересован получить наилучшее из воз­можных сочетаний потребления в этих периодах даже при покупке и осу­ществлении кредитных выплат за нее. В системе координат С₁, C₂/R_max это соответствует выбору из всех возможных кривых той кривой безразличия, которая соответствовала бы наивысшему расположению при заданных ко­ординатах (С₁)₁ и (C₂/R_max)₁ (рис.2.4.а).

Однако бюджетное ограничение требует, чтобы покупатель в итоге оказался на бюджетной линии (лучший вариант) или ниже ее (худший ва­риант). Поэтому оптимальным вариантом является точка Q_р на рис.2.4.б, в которой бюджетная линия будет касаться соответствующей кривой безраз­личия [58]. Приведенные кривые безразличия и бюджетные линии по­строены из расчета покупки квартиры с соответствующими выплатами в первом и во втором периодах. Поэтому потребление (С₁)₁ и (C₂/R_max)₁ в первом и во втором периодах учитывает уменьшение средств, выделяемых на покупку квартиры. Потребление (C₁)₁ трудно оценить за весь промежу­ток первого периода, поэтому его также желательно привести к календар­ному периоду, например, месяцу, кварталу, году. Рациональным является приведение потребления (C₁)₁ также к периоду между календарными вкладами, обеспечивающими накопление первоначального взноса за квар­тиру. Если число таких периодов составляет n, то приведенное потребле­ние будет (C₁)₁/n.

Ограничение по заимствованию привносит второй вариант в опреде­лении оптимальной точки касания между соответствующими кривой без­различия и бюджетной линией. Варианты, приведенные на рис.2.4.б и на рис.2.5.б, получили соответственно названия пассивного ограничения по заимствованию и активного ограничения по заимствованию. При этом пас­сивное ограничение по заимствованию соответствует классическому спо­собу определения потребления (рис.2.5.а), при котором ограничение по за­имствованию не имеет значения при образовании точки касания Q_р.

2.6. Расширение границ оптимального потребления.

Определение количества предполагаемых покупателей, способных купить квартиры заданной стоимости в кредит при определенных доходах, как в первом, так и во втором периодах в условиях инфляции, требует сравнительно больших затрат времени. Поэтому возникает потребность в расширении границ колебаний доходов У₁ и У₂ покупателей, способных купить квартиру по стоимости, которая также изменяется в пределах определенной погрешности. В другой интерпретации данная постановка может быть сформулирована так: необходимо оценить множество покупателей, способных купить квартиру стоимостью Р_га ± ∆Р_КВ и имеющих доходы в первом периоде и во втором периоде У₁ ± ∆У₂. При этом, не нарушая общности рассуждений и не внося существенных погрешностей, можно предположить, что абсолютные колебания доходов в первом и во втором пе­риодах приблизительно одинаковы, т.е.

∆У₁= ∆У₂ = ∆У (2.64)

Абсолютные отклонения в стоимости квартир можно оценить как часть от абсолютных отклонений в доходах

∆ Р_кв = δ∆У, (2.65)

где δ - коэффициент пропорциональности.

Учитывая, что отклонения ∆У в доходах и ∆Р_кв в стоимостях квар­тиры в течение первого и второго периодов фактически представляют собой абсолютные погрешности, то для функций бюджетных линий и кривых безразличия в системе координат С₁ С₂/ R_max текущие значения ординат C₂/R_i будут

C₂/R_i= f(У₁ ± ∆У; У₂ ± ∆У; Р_кв ± δ∆У; к; R_i; С₁). (2.66)

Можно определить суммарную погрешность, приняв погрешности ∆У и ∆Р_КВ как независимые. Действительно, отклонения в стоимости квартиры и в доходах покупателей в первом приближении можно при­нять независимыми даже в условиях нелинейной инфляции.

Активное ограничение по заимствованию связано с отсутствием ветви EF бюджетной линии. Эта ветвь, в принципе, объяснима возможностью потребителя занять деньги, которые позволили бы выбрать квартиру в со­ответствии с кривой безразличия, осуществляющей касание в точке D (рис.2. 5,6). Но поскольку заем денег невозможен, те заимствование не­возможно, то наилучшим доступным покупателю выбором становится точка Е, которая имеет кривую безразличия меньшей полезности, т.к. рас­положена ниже кривой безразличия, касающейся в точке D. Чаще всего, это менее престижный этаж, панельный дом вместо кирпичного и т.д. При этом не следует забывать, что при ограничении по заимствованию потреб­ление С₁ первого периода равно доходу У₁ в этом же периоде.

Получение точек качания соответствующих кривых безразличия с бюджетными линиями характеризует возможность покупателя в покупке квартиры, поскольку при построении и кривых безразличия, и бюджетных линий учтены (вычтены) затраты в первом и во втором периодах, связан­ные с покупкой квартиры. Поэтому точка касания этих линий и соответст­вует не только оптимуму затрат, при потреблении в первом и во втором периодах, но и минимизации стоимости квартиры, исходя из сочетаний имеющихся доходов покупателя в первом и во втором периодах, а также из условий кредитных выплат. Таким образом, представляется принципиаль­но возможным определить множества тех покупателей, которые в услови­ях инфляции при определенных доходах первого и второго периодов (У₁ = const, У₂ = const) в состоянии купить квартиру (Р_кв = const) при заданных кредитных условиях. При этом в первом периоде предусматривается нако­пление первоначального взноса за квартиру в условиях инфляции, а во втором периоде - погашение остатка стоимости квартиры кредитными вкладами также в условиях инфляции. Тогда суммарная погрешность функций [14], характеризующих отдельно бюджетные линии и кривые безразличия, будут

(2.67)

Исходя из (2.67) и функция бюджетной линии, и функция кривой без­различия могут быть представлены не в виде линий, а в виде полос, шири­на которых зависит от прибавления или вычитания из соответствующих значений ординат функций величины погрешности (1/2)∆ (C₂/R₂), опреде­ляемой по (2.67) полоса бюджетной линии приведена на рис.2.6.а, полоса кривой безразличия - на рис.2.6.6.

Исходя из поисков оптимальных решений при потреблении в первом и во втором периодах, следует рассмотреть поиск аналогичного оптимума при замене бюджетной линии на полосу бюджетной линии, а кривой без­различия - на полосу кривой безразличия. В том случае точка качания ме­жду полосами кривой безразличия и бюджетной линии может быть в пре­делах ширины как полосы кривой бюджетной линии, так и полосы кривой безразличия. Максимальная ширина, которая может быть получена в точке касания этих полос, будет в том случае, когда верхняя граница полосы бюджетной линии будет касаться нижней границы полосы безразличия (рис.2.7.). Анализ рис.2.7. указывает на оптимум в точке касания О, кото­рый характеризуется оптимумом потребления в первом и во втором перио­дах с отклонениями ±2∆(C₂/R_i). Исходя из (2.67), можно определить отклонения в доходах покупателя первого и второго периодов, а также от­клонения в стоимости квартир, при которых возможна их покупка более широким слоем населения - вероятными покупателями квартир. Действи­тельно, из (2.67) следует

(2.68)

На основании (2.68) число покупателей, способных купить квартиры, может быть оценено при наличии их доходов в первом и во втором перио­дах в диапазонах

У₁ ±∆ У_п,

У₂ ±∆ У_п, (2.69)

При этом колебание в стоимости квартиры оценивается

Р_кв ±δ∆У_п, (2.70)

где ∆У_п вычисляется по формуле (2.68)

Дата добавления: 2014-01-07