Статистическое равновесие

Если замкнутая макросистема находится в состоянии, в котором для каждой ее части, также являющейся самой по себе макросистемой, физические величины с большой относительной точностью равны своим средним значениям, то рассматриваемая замкнутая система находится в состоянии статистического равновесия.

Если система наблюдается в течение достаточно большого промежутка времени, то подавляющую часть этого промежутка оно проводит в состоянии статистического равновесия.

Если в какой-то начальный момент времени система не находилась в состоянии статистического равновесия (например, искусственно была выведена из него внешними воздействиями, а потом снова стала замкнутой), то в дальнейшем она обязательно перейдет в состояние статистического равновесия. Промежуток времени перехода в статистическое равновесие называется временем релаксации.

§1.6. Фазовое пространство. Функция распределения.

Рассмотрим идеальный газ (нет взаимодействия между молекулами). Полная энергия идеального газа есть сумма кинетических энергий отдельных молекул:, где. Поскольку молекулы не взаимодействуют, то каждая молекула может быть рассмотрена как квазизамкнутая подсистема. Обмен энергиями происходит при редких столкновениях молекул. Все молекулы обладают разными скоростями, даже в положении равновесия.

Подсистему (молекулу) будем характеризовать координатами и скоростями (или импульсами): x, y, z, p_x, p_y, p_z. Таким образом, 6 величин задают положение частицы и ее состояние.

x

z

y

· (x, y, z)

p_x (v_x)

p_y (v_y)

p_z (v_z)

· (p_x,p_y,p_z)

Рис.1.1. Координатное и импульсное фазовые пространства.

Введем понятие фазового пространства как пространства координат и импульсов (скоростей). Для подсистемы из одной молекулы это 6-ти мерное пространство. Различные состояния частицы можно изображать точками этого фазового пространства. С течением времени состояние частицы будет меняться, и тогда, соединяя все положения точек в различные моменты времени, получим фазовую линию в этом пространстве. Если система состоит из двух молекул, то их состояние задается 6+6 = 12 величинами, и мы имеем 12-ти мерное фазовое пространство.

Рассмотрим фазовое пространство в общем случае. Пусть рассматриваемая макросистема имеет n степеней свободы, т.е. положение точек этой системы в пространстве характеризуется n координатами, которые обозначим за q_i (i =1,2,3,..., n). Состояние системы тогда определяется n координатами q_i и n скоростями (или импульсами p_i). Введем фазовое пространство системы с числом измерений 2 n. С течением времени состояние системы меняется и в фазовом пространстве, и это описывается фазовой линией.

Каждая система имеет свое фазовое пространство. Вероятность реализации различных состояний системы есть функция от координат и импульсов той системы. Координаты и импульсы в этом пространстве меняются непрерывном образом, а для непрерывных значений необходимо задавать элемент объема фазового пространства (как произведение координатной и импульсной частей объема):

(1.33)

Это малая область пространства, куда может попасть система (поскольку точка не имеет измерения). Для одной частицы имеем

. (1.34)

Для n частиц

(1.35)

Рассмотрим вероятность попадания системы в элемент этого фазового объема для идеального газа. Вероятность нахождения частицы в объеме известна:, где - координатный кусок фазового пространства, - весь пространственный объем. В силу равной вероятности нахождения частицы в любой точке пространства можно записать. Причем в идеальном газе можно следить за состоянием 1 частицы в течение длительного времени (и определить в каждом i -ом состоянии) или следить сразу за

D V= DG _q

y

z

x

DG _p

p_y

p_z

p_x

Рис.1.2. Элементы объёмов в координатном и импульсном фазовом пространстве.

всем коллективом и считать, сколько частиц попало в данный элемент фазового объема. Итак, для координатной части вероятность пропорциональна объёму (если нет внешнего поля). Для пространства импульсов энергия системы постоянна

(1.36)

что вносит ограничение на элементы объема импульсов.

В общем случае элемент фазового объема, и тогда вероятность частицы попасть в этот элемент фазового объема можно записать

, (1.37)

где - плотность вероятности (функции распределения) для системы иметь координаты и импульсы (скорости) в этом элементе объема. Запись (1.37) для вероятности справедлива для любой квазизамкнутой системы.

Свойства функции распределения.

Рассмотрим основные свойства функции распределения. Во-первых, выполняется условие нормировки, где интегрирование ведется по всему фазовому объему. Во-вторых, среднее значение физической величины определяется выражением

(1.38)

Наконец, в-третьих, функция распределения обладает свойством стационарности. Рассматриваем подсистему в течение большого промежутка времени, который разобьем на большое число маленьких промежутков с моментами времени между ними t ₁, t ₂, t ₃,.... В эти моменты времени подсистема в фазовом пространстве изображается точкой. Количество этих точек в единице объема этого пространства (т.е. их плотность) будет пропорционально значению функции распределения.

Через момент времени D t состояния всех одновременно рассматриваемых подсистем изменяется согласно уравнениям механики. Новые состояния подсистем (они совпадают с состояниями исходной подсистемы в моменты t ₁+D t, t ₂+D t,....) изобразятся в фазовом пространстве точками, которые с тем же правом, что и предыдущие, будут распределены с плотностью ~. Логично предположить, что обе совокупности точек описываются одной и той же функцией распределения. Это свойство квазизамкнутых систем называется свойством стационарности статистического распределения. Имеет место теорема Лиувилля.

Дата добавления: 2014-01-07