Предельные теоремы схемы бернулли

В случае большого числа испытаний (n >> 1) формулой (3) пользоваться неудобно из-за громоздкости вычислений. Тогда применяют удобные для расчетов приближённые асимптотические формулы.

3.2.1. ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА (МУАВРА-ЛАПЛАСА)

Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что событие A появится в n испытаниях ровно k раз при больших n приближенно равна

, (4)

где .

Вероятности по этой формуле легко посчитать на инженерном калькуляторе, или, в крайнем случае, можно воспользоваться таблицей значений функции , имеющейся в любой книге по теории вероятностей.

З а д а ч а. Игральную кость бросают 100 раз. Какова вероятность, что “5” выпадет ровно 20 раз?

Решение. Точное значение вероятности равно , но вычисления займут много времени. Зато по формуле (4) расчёт несложный, если учесть, что ,: = 0,07.

ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА

Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что событие А появится в n испытаниях от до раз, приближённо равна определённому интегралу

, (5)

где и .

Интеграл в формуле (5) можно преобразовать к виду и тогда, если ввести обозначение Ф (х) = , то = Ф () – Ф ().

Функция Ф (х), зависящая от верхнего предела интегрирования, называется интегралом вероятности, или функцией Лапласа. Зависимость этой функции от х в табличном виде можно найти в любом учебнике по теории вероятностей или в математических справочниках. Отметим лишь, что Ф (х) – функция нечётная, т.е. Ф (- х) = - Ф (х), а также, что Ф (х)» 0,5, если х > 5.

З а д а ч а. Страховая компания занимается страхованием жизни людей в возрасте, например, от 30 до 40 лет. Пусть известно, что по статистике вероятность смерти в этом возрасте равна 0,01. Вам удалось застраховать 1000 человек, взяв с каждого страховку в размере 150 рублей и гарантировав в случае смерти страховую выплату 10 000 рублей. Вычислить вероятность того, что страховая компания будет в убытке.

Решение. Было собрано 150 × 1000 = 150 000 рублей. Этих денег хватит на 150 000:10 000 = 15 страховых выплат. В случае смерти 16 и более застрахованных клиентов компания понесёт убыток. Вероятность такого события равна (16, 1000) = Ф () – Ф () = Ф (314,6) – Ф (1,9) = 0,5 – 0,4713 = 0,0287, т.е. 2,9%. И такой риск можно считать вполне приемлемым.

Чтобы понять, что в серьёзных делах необходимо проводить подобные расчёты посчитаем вероятности убытка в двух других, казалось бы, схожих с первым случаях. Если назначить страховку не 150 рублей, а 100 р., то эта вероятность окажется равной 37,5%, а если – 200, то – 0,02%. Как видим, разница существенная.

ФОРМУЛА ПУАССОНА

В случае редких событий (p << 1) и при большом числе испытаний (n >> 1), но при соблюдении соотношения np = l < 10, для приближённого вычисления вероятности применяют следующую формулу Пуассона

. (6)

З а д а ч а. Пусть вероятность появления бракованной детали в процесс производства равна 0,005. Какова вероятность того, что среди 1000 деталей окажутся бракованными четыре.

Решение. Поскольку р = 0,005 <<1, n = 1000 >> 1 и l = np = 5 < 10, то можно воспользоваться формулой (6):

(4) = = 0,035 (3,5%).

Дата добавления: 2014-01-07