Евклидово пространство

Для того, чтобы в линейном пространстве можно было измерять длины и углы, вводят новую операцию – скалярное произведение. Пусть –
n -мерное линейное пространство. Каждой паре векторов и ставится в соответствие действительное число – их скалярное произведение, обозначаемое , удовлетворяющее следующим аксиомам.

Аксиома 13.1. Скалярное произведение векторов коммутативно:

Аксиома 13.2. Скалярное произведение векторов дистрибутивно относительно сложения векторов: .

Аксиома 13.3. Числовой множитель можно вынести за знак скалярного произведения: .

Аксиома 13.4 Скалярный квадрат вектора неотрицателен: , причём тогда и только тогда, когда .

Линейное пространство размерности n со скалярным произведением, удовлетворяющим аксиомам (13.1)-(13.4), называется n -мерным евклидовым пространством и обозначается .

Пример 3.

1. Евклидовым пространством является множество всех векторов обычного трёхмерного пространства. Скалярное произведение вводится так же, как в лекции 2, т. е. как произведение длин этих векторов на косинус угла между ними.

2. Евклидовым пространством является множество Т функций, непрерывных на отрезке . Скалярное произведение функций f и φ определим так: . Выполнение аксиом (13.1)-(13.4) непосредственно проверяется.

3. Если в арифметическом линейном пространстве скалярное произведение векторов и задать равенством , то аксиомы (13.1)-(13.4) выполняются.

Определение 13. Величиной угла между двумя векторами и называется угол такой, что , где норма вектора .

Дата добавления: 2014-01-07