Определение дифференциала, геометрический смысл и правила вычисления дифференциала. Использование дифференциала в приближенных вычислениях

Из условия дифференцируемости функции в точке следует, что , где при . Здесь оба слагаемых в правой части стремятся к 0, но второе слагаемое стремится к 0 быстрее, чем первое при А , поэтому первое слагаемое является главной, линейной по частью приращения функции.

Определение. Дифференциалом функции в точке называется главная линейная по часть приращения функции и записывается .

Для независимой переменной x приращение совпадает с ее дифференциалом, так как , поэтому . Формула справедлива и для случая, когда x представляет собой дифференцируемую функцию.

Геометрический смысл дифференциала.

В

дифференциал функции в точке есть приращение ординаты касательной к графику функции

в точке , когда аргумент получает приращение .

Одно из назначений дифференциала состоит в том, чтобы заменить приращение на линейную функцию от , совершив, по возможности, меньшую ошибку. При этом считают приращение функции совпадающим приближенно с ее дифференциалом, пренебрегая вторым слагаемым в приращении функции, то есть (1).

Так как и , получим . (2)

(1) – формула для вычисления приближённого значения приращения функции, (2) - формула для вычисления приближённого значения функции.

Пример. Найти .

Пусть , то есть . Возьмем , . Используя формулу (*) получаем .

Правила вычисления дифференциалов.

Пусть U и V - дифференцируемые функции, тогда

Дата добавления: 2014-01-07