Проекции прямой, параллельной плоскости

Тема 5. Взаимное положение прямых и плоскостей

1. Проекции прямой, параллельной плоскости.

2. Пересечение прямой с плоскостью общего положения.

3. Проекции прямой, перпендикулярной плоскости.

4. Взаимно-параллельные плоскости.

5. Взаимно-перпендикулярные плоскости.

6. Взаимное перпендикулярные прямые.

Литература: §§ 22…31 [1]

В процессе проектирования и изготовления нового изделия инженерам часто приходится решать задачи, связанные с различными геометрическими объектами. Такие задачи делятся на метрические и позиционные. При решении метрических задач определяются различные геометрические величины: длины отрезков, углы, площади, объемы и т.п. Мы с вами уже встречались с подобными задачами. Так при рассмотрении третьей темы мы научились определять натуральную длину отрезка прямой методом прямоугольного треугольника. К метрическим задачам также относятся задачи на построение перпендикулярных прямых и плоскостей. При изучении данной темы мы научимся решать такие задачи.

Геометрические задачи, связанные с определением относительного расположения фигур в пространстве, относятся к позиционным. Такие задачи подразделяются на два типа. В задачах первого типа определяется взаимная принадлежность одного геометрического объекта другому (например, построить точку на прямой или на плоскости, построить прямую на плоскости и т.п.). В задачах второго типа находятся точки или линии пересечения геометрических объектов между собой. В процессе изучения данной темы мы научимся решать две основные позиционные задачи – нахождение точки пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения и построение линии пересечения двух плоскостей общего положения.

Известно, что прямая параллельна плоскости, если в плоскости можно провести прямую, параллельную заданной прямой. Очевидно через точку пространства, не принадлежащую плоскости, можно провести бесчисленное множество прямых, параллельных данной плоскости. Все эти прямые будут лежать в плоскости, проходящей через заданную точку и параллельную заданной прямой. Поэтому для выбора единственного решения необходимо задать какое-нибудь дополнительное условие, например, чтобы искомая прямая была бы параллельна ещё и плоскости проекций.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Через точку А провести прямую m, параллельную плоскости S, заданной пересекающимися прямыми a и b (рис.5.1).

Так как дополнительных условий не задано, для решения задачи можно провести любую прямую из множества прямых, проходящих через точку A и параллельных плоскости S. В частности, для построения проекций искомой прямой можно поступить следующим образом: проведём в плоскости S произвольную прямую l. Для этого через произвольно точку 1₁ проводим горизонтальную проекцию l₁. Затем строим фронтальную проекцию l ₂ прямой l, принадлежащей плоскости S. Далее через проекции точки A проводим проекции прямой m, соответственно параллельные проекциям l₁ и l₂.

Рис.5.1

2. Через заданную точку D провести плоскость q, параллельную прямой n (рис,5.2).

Искомую плоскость зададим двумя пересекающимися прямыми, одна из которых должна быть параллельна заданной прямой n, а другая прямая может быть произвольной прямой. Для этого через проекции точки D (D₁, D₂) проводим проекции прямой b₁ и b₂, соответственно параллельные одноименным проекциям n₁ и n₂. Затем через проекции точки D (D₁, D₂) в произвольном направлении проводим проекции прямой a (а₁, а₂). Построенная плоскость проходит через точку D и параллельна прямой n, т.к. она содержит прямую b, параллельную прямой n.

Рис.5.2

Иногда приходится отвечать на вопрос: параллельна ли данная прямая l заданной плоскости S? Чтобы ответить на этот вопрос необходимо выяснить, возможно ли провести в плоскости S прямую, параллельную данной прямой. В случае положительного ответа – прямая l параллельна плоскости S, а если ответ отрицательный, тo l не параллельна плоскости S.

Дата добавления: 2014-01-07