Т-ма Ньютона-Лейбница

Пусть f(z)ÎC(G) и интеграл ò(от z₀ до z)f(z)dz не зависит от выбора кусочно-гладкого пути gÌG, соединяющего z₀, zÎG. Тогда, если F(z) - какая-либо первообразная для f(z) в области G, то ò(от z₀ до z)f(z)dz =F(z)-F(z₀) =F(z) (от z₀ до z).

 Док-во дословно как для функции одного действительного переменного. g

Замечание: Утверждения предыдущих двух т-м тем более справедливы для функции f(z), аналитической в односвязной области G, т.к.такая функция непрерывна в G и согласно интегральной т-мы Коши интеграл от нее не зависит от выбора пути.

Пример: f(z) =z²ÎH(C) Þ ò(от 0 до i)z²dz =z³/3 (от 0 до i) =i³/3 =-i/3 (по любому пути от 0 до i).

5.4. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции. Интегральная формула Коши.

Интегральная формула Коши. Если f(z) аналитична в замкнутой ограниченной односвязной области G с кусочно-гладкой границей g, то она бесконечно дифференцируема в этой области, и значение f⁽ⁿ⁾(z) в любой внутренней точке zÎG выражается через значения функции f в граничных точках zÎg по формуле: f⁽ⁿ⁾(z) =n!/(2pi)×ò(по g)f(z)dz/(z-z)⁽ⁿ⁺¹⁾, n=0,1,2,... (положительный обход) (1).



Пусть zÎG - фиксированная внутренняя точка. Сначала докажем равенство (1) при n=0, т.е.

f⁽⁰⁾(z) =0!/(2pi)×ò(по g)f(z)dz/(z-z)⁰⁺¹ Û f(z) =1/(2pi)×ò(по g)f(z)dz/(z-z) Û ò(по g)f(z)dz/(z-z)-f(z)×2pi =0 (2)

Рассмотрим двусвязную область, полученную из G удалением круга с границей С_r ={z: |z-z| =r} с произвольным малым r. В этой двусвязной области функция j(z) =f(z)/(z-z) аналитична как частное аналитических функций f(z) (по условию) и z-z (особая точка z - вне области, она удалена). Поэтому верна т-ма Коши для двусвязной области: ò(по g)f(z)dz/(z-z) =

=ò(по C_r)f(z)dz/(z-z). С другой стороны, 2pi =ò(по С_r)dz/(z-z). Подставим в (2): ò(по С_r)f(z)dz/(z-z) - f(z)×ò(по C_r)dz/(z-z) =0 Û|f(z)=const| Û ò(по С_r)(f(z)-f(z))dz/(z-z) =0. Зададим любое e>0. Ввиду fÎC{z} будет [r=|z-z|®0 Þ |f(z)-f(z)|®0], так что при достаточно малом r будет |f(z)-f(z)| <e/2p. Поэтому ("zÎC_r)[ |(f(z)-f(z))/(z-z)| =|f(z)-f(z)|/r <e/(2pr) ] и по св-ву интеграла (оценка модуля): |ò(по С_r)(f(z)-f(z))dr/(z-z)| £e/(2pr)×длина С_r =e/(2pr)×2pr =e Þ |ò(по g)f(z)dz/(z-z) - f(z)×2pi| £ £e. Т.о., неотрицательное число не превосходит любого положительного числа e Þ |ò(по g) - f(z)×2pi| =0 Þ

Þ ò(по g) - f(z)×2pi =0, ч.т.д. Получим (1) при n=1,2,... f(z)ÎH(G) Þ $f `(z) =(1/(2pi)×ò(по g)f(z)dz/(z-z))`_z =|можно док-ть законность дифференцирования под знаком интеграла| =1/(2pi)×ò(по g)(f(z)/(z-z))`<sub>z</sub>dz =1/(2pi)×ò(по g)f(z)×(-1/(z-z)<sup>2</sup>×(-1))dz Þ f `(z) =1!/(2pi)×ò(по g)f(z)dz/(z-z)¹⁺¹. Снова дифференцируя под знаком интеграла, имеем (1/(2pi)×ò(по g)f(z)dz/(z-z)²)`_z =

=1/(2pi)×ò(по g)f(z)×(-2/(z-z)³×(-1))dz, т.е. сущ-ет f ``(z) =2!/(2pi)×ò(по g)f(z)dz/(z-z)²⁺¹,..., f⁽ⁿ⁾(z) =n!/(2pi)×ò(по g)f(z)dz/(z-z)ⁿ⁺¹ g

Т-ма Мореры. Если f(z) непрерывна в замкнутой ограниченой односвязной области G и интеграл от нее по любому замкнутому кусочно-гладкому контуру gÌG равен нулю, то f(z)ÎH(G).

 При указанных условиях по т-ме об аналитичности интеграла с переменным верхним пределом

Ф(z) =ò(от z₀ до z)f(z)dzÎH(G), причем ("zÎG)[Ф`(z)=f(z)]. Но аналитическая функция Ф(z), по доказанному, бесконечно дифференцируема, значит, ("zÎG)[$Ф``(z)=f `(z)]. Существование f `(z) во всей области G и означает аналитичность f(z) в области G. g

6.1. Функциональные ряды. Степенной ряд. Ряд Тейлора.

Функциональный ряд å(от n=1 до ¥) (1) наз-ся равномерно сходящимся на мн-ве ЕÌС, если ("e>0)($n₀ÎN)("nÎN)("zÎE)[n>n₀ Þ |S_n(z)-S(z)|<e], где S_n(z) =f₁(z)+...+f_n(z) - частичная сумма, S(z) - сумма ряда.

Т-ма о непрерывности суммы ряда. Если все f_n(z)ÎC(E) и ряд (1) сходится на Е равномерно, то сумма S(z) ряда (1) непрерывна на мн-ве Е.

Т-ма о почленном интегрировании ряда. Если все f_n(z) непрерывны на кусочно-гладкой кривой g и ряд (1) сходится на кривой g равномерно, то его можно почленно интегрировать вдоль кривой g: ò(по g)S(z)dz =ò(по g)å(от n=1 до ¥)f_n(z)dz =

=å(от n=1 до ¥)ò(по g)f_n(z)dz.

Т-ма об ограниченном множителе. Умножение всех членов ряда (1), равномерно сходящегося на мн-ве Е, на функцию, ограниченную по модулю на этом мн-ве, не нарушает равномерно сходимости.

Признак Вейерштрасса. Если ряд (1) на мн-ве Е мажорируется каким-либо сходящимся положительным числовым рядом å(от n=1 до ¥)a_n, т.е. ("nÎN)("zÎE)[|f_n(z)|£a_n], то ряд (1) сходится на мн-ве Е абсолютно и равномерно.

 Док-ва этих т-м как для функций одного переменного. g

Т-ма Вейерштрасса об аналитичности суммы ряда. Если все f_n(z) аналитичны в односвязной обдасти G и ряд (1) равномерно сходится на каждом замкнутом мн-ве EÌG, то сумма S(z) ряда (1) аналитична в области G.

 f_n(z)ÎH(G) Þ f_n(z)ÎC(G). Кроме того, ряд (1) сходится равномерно на каждом замкнутом мн-ве EÌG, поэтому по т-ме о непрерывности суммы ряда S(z)ÎC(E), а т.к. Е - произвольное, то S(z)ÎC(G). Рассмотрим ò(по g)S(z)dz по любому замкнутому кусочно-гладкому пути gÌG. Поскольку g - замкнутое мн-во (cодержит все свои предельные точки), то по условию ряд (1) сходится на g равномерно, и можно применить т-му о почленном интегрировании ряда: ò(по g)S(z)dz =

=å(от n=1 до ¥)ò(по g)f_n(z)dz =|f_n(z)ÎH(G) Þ ò(по g)f_n(z)dz=0 (интегральная т-ма Коши для односвязной области)| =0.

Т.о., S(z)ÎC(G) и интеграл от S(z) по любому замкнутому кусочно-гладкому пути gÌG равен нулю. Поэтому согласно

т-мы Мореры S(z)ÎH(G). g

6.3. Степенные ряды.

Для степенного ряда С₀+С₁(z-a)+C₂(z-a)²+... =å(от n=0 до ¥)C_n(z-a)ⁿ (2) областью сходимости явл-ся круг

К={z: |z-a|<R} с центром z=a и радиусом R (радиус сходимости)  Д-во по аналогии с интервалом сходимости действительного переменного степенного ряда g

Внутри круга сходимости К степенной ряд сходится абсолютно, вне круга расходится. На окружности круга К в разных точках ряд может быть сходящимся абсолютно или неабсолютно, или расходящимся.

Св-ва степенного ряда:

1.Степенной ряд (2) сходится равномерно на любом замкнутом мн-ве Е внутри круга сходимости К.

2.Сумма S(z) степенного ряда (2) непрерывна в круге сходимости К.

3.Степенной ряд (2) можно почленно интегрировать вдоль любой кусочно-гладкой кривой g внутри круга сходимости К.

 Док-ва как и для действительных степенных рядов g

4.Т-ма об аналитичности суммы степенного ряда. Сумма S(z) степенног ряда (2) аналитична в круге сходимости К (а значит, и бесконечно дифференцируема), причем S^(k)(z) =å(от n=0 до ¥)(C_n(z-a)ⁿ)^(k).

 Все f_n(z) =C_n(z-a)ⁿÎH(K) и по св-ву 1) ряд (2) равномерно сходится на любом замкнутом мн-ве ЕÌК. Значит, по т-ме Вейерштрасса об аналитичности суммы ряда S(z)ÎH(K). (Законность почленного дифференцирования без док-ва). g

Можно док-ть, что при почленном интегрировании и дифференцированиии получается новый степенной ряд с тем же кругом сходимости К. Рассмотрим вопрос о разложимости функции f(z) в степенной ряд.

Т-ма о единственности разложения в степенной ряд. Если f(z) разлагается в окрестности точки z=a в степенной ряд (2), то это разложение единственно: козффициенты единственным образом вычисляются по формуле C_n=f⁽ⁿ⁾(a)/n!.

 Док-во дословно как для действительного степенного ряда. g

След-но, если f(z) разлагается в степенной ряд, то ее степенным рядом явл-ся ряд Тейлора: f(z) =f(a)+f `(a)(z-a)/1!+

+f ``(a)(z-a)<sup>2</sup>/2!+...+f<sup>(n)</sup>(a)(z-a)<sup>n</sup>/n!+..., а при а=0 - ряд Макларена: f(z)=f(0)+f `(0)z/1!+f ``(0)z²/2!+...+f⁽ⁿ⁾(0)zⁿ/n!+...

Критерий разложимости в степенной ряд. [f(z) разлагается в круге K={z: |z-a|<R} в степенной ряд по степени z-a] Þ

Þ [f(z)ÎH(K)]

 Þ Если ("zÎK)[f(z) =å(от n=1 до ¥)C_n(z-a)ⁿ] (т.е. разлагается), то по т-ме об аналитичности суммы степенного ряда f(z)ÎH(K).

Ü Пусть f(z)ÎH(K), и zÎK - произвольная точка. Т.к. z - внутренняя точка, то можно провести окружность

C_r={z: |z-a|=r}ÌK так, чтобы z была внутри С_r.

f(z)ÎH(K) Þ |интегральная формула Коши| Þ f(z) =1/(2pi)×ò(по С_r)f(z)dz/(z-z). Разложим сначала 1/(z-z) по степеням

(z-a): 1/(z-z) =1/((z-a)-(z-a)) =|вынесем за скобки разность с большим модулем: |z-a|>|z-a| | =1/(z-a)×1/(1-(z-a)/(z-a)) =

=|q=(z-a)/(z-a), геометрический ряд: |q| =|z-a|/|z-a|<1, 1/(1-q) =1+q+q²+...=å(от n=0 до ¥)qⁿ| =

=1/(z-a)× å(от n=0 до ¥)((z-a)/z-a))ⁿ (3). На окружности С_r этот ряд мажорируется: ("zÎC_r)[|(z-a)/(z-a)|ⁿ =|z-a|ⁿ/|z-a|ⁿ =

=(r/r)ⁿ (т.е. £(r/r)ⁿ)], где q=r/r <1 и потому числовой ряд å(от n=0 до ¥)(r/r)ⁿ (геометрический) сходится. Значит, по признаку Вейерштрасса ряд (3) сходится на С_r равномерно. После умножения на функцию f(z), ограниченную на С_r по модулю (|f(z)| непрерывна на замкнутом ограниченном мн-ве С_r Þ по т-ме Вейерштрасса ограничена) равномерная сходимость сохраняется. Итак, ряд f(z)/(z-z) =å(от n=0 до ¥)f(z)/(z-a)×((z-a)/(z-a))ⁿ равномерно сходится на С_r. Его члены (как функции от z) непрерывны на С_r (точка разрыва z=аÏС_r), и по т-ме о почленном интегрировании можно почленно интегрировать вдоль С_r: 1/(2pi)×ò(по С_r)f(z)dz/(z-z) =1/(2pi)×å(от n=0 до ¥)ò(по С_r)f(z)/(z-a)ⁿ⁺¹×(z-a)ⁿdz =

=|z-a=const| =å(от n=0 до ¥)(1/(2pi)×ò(по С_r)f(z)dz/(z-a)ⁿ⁺¹)(z-a)ⁿ, так что ("zÎK)[f(z) =å(от n=0 до ¥)C_n(z-a)ⁿ], т.е. f(z) разлагается в круге К в степенной ряд по степеням z-a. g

Замечание: В силу единственности разложения, коэффициенты, полученные в т-ме, совпадают с коэффициентами Тейлора: С_n =f⁽ⁿ⁾(a)/n! =1/(2pi)×ò(по С_r)f(z)dz/(z-a)ⁿ⁺¹ и при разложении их можно вычислять по любой из этих формул. При этом вместо окружности С_r можно взять произвольный замкнутый кусочно-гладкий контур gÌК, окружающий точку z=a. Действительно, в двусвязной области между g и С_r подинтегральная функция аналитична (особая точка z=а не содержится), и по т-ме Коши для двусвязной области ò(по С_r) =ò(по g), так что C_n =1/(2pi)×ò(по g)f(z)dz/(z-a)ⁿ⁺¹. Функции e^z, cosz, sinz, chz, shz аналитичны на всей плоскости (целые), поэтому разлагаются в окрестности любой точки в степенной ряд на всей плоскости (R=¥). Как и для функций действительного переменного, получим при а=0:

e^z =1+z/1!+z²/2!+...+zⁿ/n!+...; cosz =1-z²/2!+z⁴/4!-...+(-1)ⁿz²ⁿ/2n!+...; sinz =z-z³/3!+...+(-1)ⁿz²ⁿ⁺¹/(2n+1)!+...;

chz =1+z²/2!+z⁴/4!+...+z²ⁿ/2n!+...; shz =z+z³/3!+...+z²ⁿ⁺¹/(2n+1)!+... Можно док-ть, что главное значение логарифма ln(1+z) и главное значение бинома (1+z)^a =exp(aln(1+z)), где aÎС, аналитичны на всей плоскости с разрезом по действительной оси ]-¥, -1], так что они разлагаются по степеням z (т.е. в окрестности точки z=0) в круге |z|<1:

ln(1+z) =z-z²/2+z³/3-...+(-1)ⁿzⁿ⁺¹/(n+1)+... (|z|<1); (1+z)^a =1+az/1!+a(a-1)z²/2!+...+a(a-1)(a-2)...(a-(n-1))zⁿ/n!+... (|z|<1).

6.6. Ряд Лорана.

Ряд...+C_-n/(z-a)ⁿ+...+C_-2/(z-a)²+C_-1/(z-a)+C₀+C₁(z-a)+...+C_n(z-a)ⁿ+... =å(от n=-¥ до ¥)C_n(z-a)ⁿ наз -ся рядом Лорана по степеням z-a. Его областью сходимости явл-ся общая часть областей сходимости рядов å(от n=0 до ¥)С_n(z-a)ⁿ =

=C₀+C₁(z-a)+...+C_n(z-a)ⁿ+... (правильная часть) и å(от n=-¥ до -1)C_n(z-a)ⁿ =...+C_-n/(z-a)ⁿ+...+C_-1/(z-a) (главная часть). Правильная часть - степенной ряд с некоторым кругом сходимости |z-a|<R, причем в каждом замкнутом мн-ве внутри этого круга ряд сходится равномерно. Главная часть подстановкой 1/(z-a) =z переводится в степенной ряд

С_-1z+С_-2z²+...+C_-nzⁿ+... с некоторым кругом сходимости |z|<r, причем в каждом замкнутом мн-ве внутри этого круга сходимость равномерная. Но |z|<r Û |1/(z-a)|<r Û |z-a|>1/r.

Cлед-но, сама главная часть сходится вне круга радиуса r=1/r с центром z=a, причем в каждом замкнутом мн-ве сходимость равномерная. Если r<R, то пересечение областей |z-a|>r, |z-a|<R не пусто, и кольцо r<|z-a|<R явл-ся областью сходимости ряда Лорана. В каждом замкнутом мн-ве Е внутри кольца ряд Лорана сходится равномерно. На границах кольца в разных точках ряд может сходится или расходится.

Т-ма о единственности разложения в ряд Лорана. Если f(z) разлагается в кольце r<|z-a|<R в ряд Лорана по степеням z-a, то это разложение единственно.

 Пусть ("z, r<|z-a|<R)[f(z) =å(от n=-¥ до ¥)C_n(z-a)ⁿ]. Проведем в кольце окружность g ={z: |z-a| =r}. Это замкнутое

мн-во (т.е. содержит все свои предельные точки), поэтому на g ряд сходится равномерно.

Умножим его на функцию 1/(z-a)^k+1 (kÎZ). Она ограничена по модулю на окружности g: |1/(z-a)^k+1| =1/|z-a|^k+1 =1/r^k+1=const

Поэтому согласно т-ме об ограниченном множителе получим равномерно сходящийся на g ряд: f(z)/(z-a)^k+1 =

=å(от n=-¥ до ¥)C_n(z-a)ⁿ/(z-a)^k+1 =å(от n=-¥ до ¥)C_n/(z-a)^-n+k+1. Его члены C_n/(z-a)^-n+k+1ÎC(g) (т.к. точка разрыва z=a - вне g) и по т-ме о почленном интегрировании ряд можно почленно интегрировать вдоль g: ò(по g)f(z)dz/(z-a)^k+1 =å(от n=-¥ до ¥)C_n×ò(по g)dz/(z-a)^-n+k+1. Как видно, интеграл справа при -n+k+1¹1 (т.е. n¹k) равен нулю, а при -n+k+1=1 (т.е. n=k) равен 2pi

Значит, в сумме справа остается только один член с номером n=k, равный C_k×2pi: ò(по g)f(z)dz/(z-a)^k+1 =C_k×2pi Þ C_k = =1/(2pi)×ò(по g)f(z)dz/(z-a)^k+1 (k=+-0,1,2,...). Т.о., коэффициенты C_k ряда Лорана вычисляются единственным образом по этой формуле. g

Критерий разложимости в ряд Лорана. [f(z) разлагается в кольце К={z: r<|z-a|<R} в ряд Лорана по степеням z-a] Û

Û [f(z)ÎH(K)].

 Þ Пусть ("zÎK)[f(z) =å(от n=-¥ до ¥)C_n(z-a)ⁿ]. Возьмем произвольную односвязную область GÌK. На каждом замкнутом мн-ве Е внутри G ряд сходится равномерно, а члены ряда C_n(z-a)ⁿ (C_-k/(z-a)^k, C_k(z-a)^k) аналитичны в G (особая точка z=a вне G).

Значит, по т-ме Вейерштрасса об аналитичности суммы ряда, f(z)ÎH(G). Т.к. G была взята произвольно, то f(z)ÎH(K).

Ü Пусть f(z)ÎH(K), и z - фиксированная точка внутри К. Проведем окружность gÌК c центром z. В замкнутом круге с границей g функция f(z) аналитична, и по интегральной формуле Коши f(z) =1/(2pi)×ò(по g)f(z)dz/(z-z). Образуем трехсвязную область с границами g, g₁ ={z: |z-a|=r₁}, g₂ ={z: |z-a|=r₂}, r<r₁<r₂<R (g внутри g₂, вне g₁).

Здесь функция j(z) =f(z)/(z-z) аналитична (особая точка z=z вне области), и по интегральной т-ме Коши для многосвязной области: 1/(2pi)×ò(по g₂)f(z)dz/(z-z) =1/(2pi)×ò(по g)f(z)dz/(z-z) + 1/(2pi)×ò(по g₁)f(z)dz/(z-z) Þ f(z) = =1/(2pi)×ò(по g₂)f(z)dz/(z-z) - 1/(2pi)×ò(по g₁)f(z)dz/(z-z). Для первого слагаемого z и a содержатся внутри g₂, как и в критерии разложимости в степенной ряд, поэтому воспользуемся результатом этой т-мы: 1/(2pi)×ò(по g₂) =å(от n=0 до ¥)C_n(z-a)ⁿ, где C_n =1/(2pi)×ò(по g₁)f(z)dz/(z-a)ⁿ⁺¹. (n=0,1,2,...) (1). Разложим второе слагаемое: 1/(z-z) =1/((z-a)-(z-a))= =|вынесем разность с большим модулем для g₁: |z-a|>|z-a| | =-1/(z-a)×1/(1-(z-a)/(z-a)) =|сумма геометрического ряда с q=(z-a)/(z-a), |q| =|z-a|/|z-a|<1| =-1/(z-a)×(1+(z-a)/(z-a)+((z-a)/(z-a))²+...) =-1/(z-a)× å(от k=0 до ¥)((z-a)/(z-a))ⁿ. Как и в критерии радложимости в степенной ряд, этот ряд мажорируется на окружности g₁ и потому сходится равномерно. После умножения на f(z), ограниченную по модулю на g₁ равномерная сходимость сохраняется, и можно ряд почленно интегрировать вдоль g₁: 1/(2pi)×ò(по g₁)f(z)dz/(z-z) =1/(2pi)×(-1/(z-a)× å(от k=0 до ¥)ò(по g₂)f(z)/(z-a)^k×(z-a)^kdz =-å(от k=0 до ¥)(1/(2pi)×ò(по g₂)f(z)dz/(z-a)^-k)(z-a)^-(k+1) =|перенумеруем: -(k+1)=n, -k=n+1, при k=0 n=-1, при k=¥ n=-¥| =-å(от n=-1 до -¥)(1/(2pi)×ò(по g₂)f(z)dz/(z-a)ⁿ⁺¹)(z-a)ⁿ =-å(от n=-1 до -¥)C_n(z-a)ⁿ, где C_n =1/(2pi)×ò(по g₂)f(z)dz/(z-a)ⁿ⁺¹ (n=-1,-2,...) (2). В интегралах (1) и (2) f(z)/(z-a)ⁿ⁺¹ÎH(K) (т.к. z=aÎK), и на основании интегральной т-мы Коши для двусвязной области контуры интегрирования g₁ и g₂ можно заменить на произвольную замкнутую кусочно-гладкую кривую gÌК. Итак, ("zÎK)[f(z) =å(от n=-¥ до ¥)C_n(z-a)ⁿ], где C_n =1/(2pi)×ò(по g)f(z)dz/(z-a)ⁿ⁺¹ (n=+-0,1,2,...), g - произвольная кусочно-гладкая замкнутая кривая в К. g

Дата добавления: 2014-01-07