Дослідження параметрів автоколивань методом гармонічного балансу

При використанні методу гармонічної лінеаризації приймається, що гіпотеза фільтра виконується. Тоді, в системі виникає періодичний процес і на виході лінійної частини і на вході нелінійної ланки він є гармонічним . Тому періодичний режим однозначно визначається частотою та амплітудою , і дослідження періодичного процесу зводиться до визначення цих параметрів.

Основна умова виникнення періодичного процесу. В лінеаризованій системі можуть виникати гармонічні коливання, якщо її характеристичне рівняння має чисто уявні корені, або, якщо амплітудно-фазова характеристика розімкнутої системи проходить через точку , тобто якщо виконується рівність

. (-+)

Це співвідношення є рівнянням відносно невідомих параметрів, частоти та амплітуди і визначає основну умову виникнення періодичних процесів у системі що розглядається. Автоколивання в системі можливі якщо дане рівняння має дійсні додатні корені.

Є кілька методів дослідження автоколивань. Першим розглянемо аналітичний метод.

Підставивши в рівняння (-+) вирази для передаточних функцій лінійної та лінеаризованої частин, та позбувшись дробу, отримаємо рівняння у вигляді

,

або

(--++)

Якщо остання система рівнянь має розв’язок (, ), то це означає, що гармонічно лінеаризоване рівняння має розв’язок яке описує періодичний процес.

Розв’язок описує автоколивання, якщо він асимптотично орбітально стійкий. Таким чином, дослідження автоколивань зводиться до розв’язку рівнянь (--++) та визначення асимптотичної орбітальної стійкості.

У випадку коли нелінійна ланка має однозначну характеристику і її передаточна функція має вигляд , асимптотичну орбітальну стійкість можна перевірити, скориставшись умовою, що коефіцієнт гармонічної лінеаризації повинен бути спадаючою функцією в околі точки , тобто повинна виконуватися нерівність

.

У випадку, коли нелінійна ланка має неоднозначну характеристику, для отримання умови асимптотичної орбітальної стійкості потрібно скористатися критерієм стійкості Михайлова. Основна умова виникнення періодичного процесу відповідає проходженню кривої Михайлова через початок координат. Умова асимптотичної орбітальної стійкості при неоднозначній характеристиці нелінійної ланки матиме вигляд

Зірочка при частинних похідних означає, що похідні визначаються в початку координат.

Графічний (частотний метод) дослідження автоколивань.

Рівняння , що визначає умову виникнення періодичного процесу, можна розв’язати графічно. Для цього представимо його наступним чином:

.

Будуємо амплітудно-фазову характеристику лінійної частини, тобто годограф функції , та обернену амплітудно-фазову характеристику нелінійної ланки з від’ємним знаком, тобто годограф функції . При побудові годографа змінюється частота, при побудові годографа змінюється амплітуда.

Якщо рівняння що розглядається має розв’язок, то вказані характеристики перетнуться. В точці перетину за годографом знаходимо частоту, а за годографом - амплітуду періодичного процесу.

Стійкість періодичного процесу встановлюється наступним чином. Якщо лінійна частина стійка, то періодичний процес буде асимптотично орбітально стійким, коли точка на годографі , що відповідає амплітуді знаходиться зліва від амплітудно-фазової частотної характеристики при русі по ній в сторону збільшення частоти.

Розглянутий графічний (частотний) метод був запропонований Л.С.Гольдфарбом та називається методом Гольдфарба.

Дослідження стійкості нелінійних систем

Стійкість нелінійних систем є значно більш складним поняттям, ніж стійкість лінійних систем. Стійкість лінійних систем, для яких виправдовується принцип суперпозиції, є їх властивістю, тобто вимога стійкості до системи визначає структуру та значення її параметрів. При цьому фіксовані стани системи у визначені моменти часу і вхідні сигнали не мають ніякого значення. Лінійна система є або стійкою, або нестійкою і для дослідження стійкості існують порівняно прості математичні методи.

У зв’язку з тим, що у нелінійних системах може існувати особливий вид усталеного режиму – автоколивання, то необхідно дати коректне визначення стійкості. Таке визначення дав А.М.Ляпунов:

Незбурений рух стійкий, якщо при достатньо малих відхиленнях збурений рух наскільки завгодно мало відрізняється від незбуреного. При цьому система асимптотично стійка, якщо збурений рух прямує до незбуреного.

Для нелінійних систем розрізняють різні види стійкості в залежності від величини зовнішнього впливу:

- стійкість у "малому" – це стійкість системи при безмежно малих відхиленнях від усталеного режиму;

- стійкість у "великому" – стійкість при великих але обмежених відхиленнях (зовнішніх впливах) від усталеного режиму;

- стійкість у "цілому" – стійкість при будь-яких необмежених відхиленнях.

Стійкість називається асимптотичною, якщо система повертається до вихідного стану, тобто в ту саму точку з якої її вивів зовнішній вплив.

Стійкість називається неасимптотичною, якщо система повертається в деяку точку в певному околі від вихідного режиму.

Абсолютна стійкість – стійкість цілого класу нелінійних систем, які мають таку нелінійність, яку можна вкласти в межі певного кута.

Перший непрямий метод дослідження стійкості Ляпунова. Використовується для дослідження стійкості в "малому". Він полягає в тому, що нелінійну систему лінеаризують, використовуючи розклад в ряд Тейлора. Тоді нелінійна система стійка, якщо лінеаризована система також стійка, і навпаки. Проте, якщо лінеаризована система виявиться на межі стійкості, то про стійкість нелінійної системи судити по ній не можна.

Для нелінійних систем вирішення питання стійкості є досить складним. Наприклад, рух або рівновага, стійкі у малому, можуть з’явитися нестійкими при великих відхиленнях. З іншого боку, при одних і тих самих вхідних сигналах система може мати декілька рівноважних станів. Тобто перший метод Ляпунова, що ґрунтується на дослідженні стійкості за рівняннями першого наближення, є недостатнім для повного дослідження стійкості нелінійних систем. Унаслідок цього для дослідження стійкості “у великому” і “у цілому” використовують спеціальні методи, до яких належать другий (прямий) метод Ляпунова та критерій стійкості Попова.

Другий (прямий) метод Ляпунова. Метод ґрунтується на побудові спеціальних функцій Ляпунова, які дозволяють отримати достатні умови стійкості рівноваги "у великому". Дані функції V мають зміст відстані у спеціальному просторі станів між досліджуваним незбуреним і збуреним рухами. Якщо з часом ця функція спадає, тобто , то незбурений рух стійкий, а при - нестійкий.

Дослідження стійкості зводиться до аналізу швидкості зміни функції V. Умови стійкості сформульовані у двох теоремах Ляпунова.

Теорема 1. Якщо існує знаковизначена функція , похідна якої за часом у силу диференціальних рівнянь руху є знакопостійною функцією протилежного з V знаку, або тотожно дорівнює нулю, то незбурений рух стійкий.

Теорема 2. Якщо, крім того, функціязнаковизначена, то незбурений рух стійкий асимптотично.

Відзначимо, що знакопостійною називається функція, яка при всіх значеннях своїх аргументів набуває значення тільки одного знаку або нульове значення. Знаковизначеною називається знакопостійна функція, яка набуває нульове значення тільки при нульовому значенні всіх її аргументів (на початку координат).

Складність даного методу полягає у тому, що задача вірного вибору функції Ляпунова пов’язана зі складнощами. Відсутні загальні методи побудови цих функцій. Більше того, зустрічаються випадки, коли система є стійкою, а внаслідок невірно вибраної функції Ляпунова цей факт установити не вдається. У такому випадку для розв’язання технічних задач метод Ляпунова не є досить ефективним.

Критерій стійкості Попова. Важливою особливістю загальної теорії стійкості нелінійних систем є те, що розглядаються не конкретні види функцій (параболи, експоненти тощо), а класи функцій, які задовольняють тим чи іншим обмеженням. Якщо стан рівноваги системи асимптотично стійкий "у цілому" при будь-якій нелінійній функції із заданого класу, то вона називається абсолютно стійкою у цьому класі. Будемо розглядати клас функцій, що задовольняють секторним обмеженням. Їх характеристики на площині вміщаються у кутовому секторі, що утворений двома прямими: і , (k₂ > k₁).

Кажуть, що такі нелінійності належать до класу (). Можна виділити деякі підкласи цього класу:

- підклас () задовольняє умовам:

.

Тобто, нелінійність має будь-який контур, який не виходить за межі заданого кута .

- підклас () – будь-яка , що розташована тільки у першому і третьому квадрантах площини (x; y).

.

Дослідження абсолютної стійкості рівноваги системи з нелінійністю із підкласу () досить просто виконується за допомогою частотного методу, запропонованого румунським вченим В.М. Поповим (1959 р.). При цьому припускається, що лінійна частина системи стійка та її комплексна передаточна функція має вигляд:

.

Введемо поняття перетвореної комплексної передаточної функції лінійної частини:

,

у якої дійсна частина така сама, як у , а уявна – .

Тоді можна дати таке геометричне трактування критерію Попова:

Система зі стійкою лінійною частиною абсолютно стійка у класі стаціонарних нелінійних характеристик y = j(x) підкласу (), якщо через точку –1/k на дійсній осі комплексної площини можна провести пряму так, щоб перетворена частотна характеристика знаходилась праворуч від цієї прямої.

На рис. +++ а), б) наведені випадки, коли умова Попова виконується, а на рис. +++, в) – не може бути виконана.

Рис. +++ - Ілюстрація критерію Попова

Дата добавления: 2014-01-07