Уравнение шредингера и его решения для частицы в потенциальном ящике

(- ħ²/2m) ( d² ψ /dx² ) = E ψ

( d² ψ /dx² ) + (2m/ħ²) E ψ = 0

(2m/ħ²) E = k²

( d² ψ /dx² ) + k² ψ = 0

Решение: ψ = A’ e ^ikx + B’ e ^–ikx

По т.Эйлера: ψ = A’ (Coskx + iSinkx) + B’ (Coskx - iSinkx)

ψ = (A’ + B’)(Cos kx) + (A’ – B’) (iSinkx)

A’ = 1/2 B’= 1/2 тогда ψ1 = Cos kx

A’ = -i/2 B’= -i/2 тогда ψ2 = Sin kx

ψ = ASinkx + BCoskx – амплитудная функция

Ψ (x,t) = e ^{–i/ ħ (Et)} (ASinkx + BCoskx) - амплитудное рещение

Ψ (x,t) = Ae ^{–i/ ħ (Et)} Sinkx + B e ^{–i/ ħ (Et)} Coskx – общее решение

Собственные значения энергии

ψ = ASinkx + BCoskx

применим граничные условия

ψ (0) = 0 B=0 A!=0

ψ (l)=0 ASinkL=0

Sinkl = 0 kL=nPi k=nPi/L

(2m/ħ²) E = (nPi/L)²

E= n² Pi²ħ²/2mL²

Мкч имеет дискретный спектр энергий в потенциальном ящике

E₁= Pi²ħ²/2mL²

E₂=4 Pi²ħ²/2mL² итд

ψ = ASin(nPi/L)x

∆E = E_n+1 – E_n = (n+1)² (Pi²ħ²/2mL²) – n² (Pi²ħ²/2mL²) = (2n+1) (Pi²ħ²/2mL²) ~ n

Дискретность проявляется при малых массах и малых размерах потенциального ящика.

Относительная дискретность ∆E/E = 2n+1/n² ~ 1/n

При n стремящемуся к бесконечности дискретность исчезает (стремится к 0) и квантовая механика переходит в классическую.

Дата добавления: 2014-01-07