Плотность множества рациональных чисел в R

Теорема. Между любыми вещественными числами находится бесконечное множество рациональных чисел. (Т.е. множество Q всюду плотно в R).

Доказательство. Возьмем числа a b (b>0) a<b, a,bÎR. Представим число b в виде бесконечной десятичной дроби:b=b₀,b₁b₂…

Построим приближения: b₁=b₀,b₁, b₂=b₀,b₁b₂,…,b_k=b₀,b₁b₂…b_k и т.д.

Получим бесконечное множество рациональных чисел.

Тогда, т.к. b>0, то все b_k<b.

Если из b вычесть b_k, то b-b_k=0,b_k+1b_k+2 – эта разность будет сколь угодно мала.

Следовательно, $k₀: "k³k₀ b-b_k<b-aÞb_k>a, т.е. a<b_k<b "k³k₀

Т.е. между числами а и b – множество рациональных чисел.

Если b£0, то рассматриваются –b и –а. ч.т.д.

Дата добавления: 2014-01-07