Теорема 3

Следствие из теоремы 2.

- т.е. константу можно выносить за знак предела.

(Доказательство. Следует из свойства 2 при {у_n}=a.)

Если =b≠0, то - оценка снизу для ½y_n½.

Более того, для указанных n, если b>0, то y_n>, если же b<0, то y_n<.

Таким образом, начиная с некоторого номера y_n сохраняет знак b.

Доказательство.

Т.к. =b, то для

С другой стороны

Получаем , отсюда - доказали 1-ю часть.

С другой стороны, неравенство эквивалентно двум неравенствам:

b-<y_n<b+, n>N

Тогда, если b>0, то = b-<y_n, n>N

Если b<0, то y_n<b+=b-, n>N – доказано 2-е утверждение. Ч.т.д.

Теорема 4. Пусть даны последовательности {x_n}и {у_n}. Пусть =а. Пусть все значения переменной у_n отличны от нуля и =b (b≠0), тогда частное {} также является сходящейся и .

Доказательство. . Покажем, что .

(1).

По предыдущему утверждению, (2)

По (1) и (2)

Т.к. =b, то

Положим N=max(N₁,N₂): . Ч.т.д.

Утверждение (или задача?). Пусть даны последовательности {x_n}и {у_n} и =а, =b, тогда разность {x_n-у_n} также является сходящейся и =a-b.

Доказательство. Оценим . Далее аналогично сумме: Т.к. =а, то

Т.к. =b, то

Положим N=max(N₁,N₂): и .

Следовательно, ч.т.д.

Дата добавления: 2014-01-07