Первообразная функция. Основная теорема о первообразных

В предыдущем семестре мы рассматривали задачу: пусть дана функция F (x). Требуется найти ее производную f (x) = F^’ (x). (Это задача дифференциального исчисления).

Сейчас мы рассмотрим обратную задачу: дана производная f (x) = F^|(x). Требуется найти функцию F (x) (это задача интегрального исчисления).

Определение: Первообразной от функции f (x) называют функцию F (x), производная которой равна данной функции; т.е. F^|(x) = f (x).

Примеры: f (x) = cosx; F (x) = sinx; f (x) = х²; F (x) =

Легко видеть, что если для данной функции f (x) существует первообразная, то она не является единственной

или , где С = const

С другой стороны можно показать, что функции вида , исчерпывает все производные для функции f (x) = х². Это вытекает из следующей теоремы.

Теорема. Если F₁ (x) = F₂ (x) две производные от функции f (x)? То разность между ними равна постоянному числу.

Из этой теоремы следует, что если для данной функции f (x) найдена какая-то производная F (x), то любая другая производная для f (x) имеет вид

F (x) + С где С = const

Дата добавления: 2014-01-07