Пример 5

Найти общее решение дифференциального уравнения

ху^/ +у = х + 1 (22)

Решение. Заданное уравнение (22) имеет вид (19), а значит является линейным неоднородным дифференциальным уравнением.

а) Метод вариации произвольной постоянной Лагранжа. Сначала найдем общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения т.е. уравнения: ху^/ + у = 0 (23)

Уравнение (23) является уравнением с разделяющимися переменными (см. лекция 1). Отделяя в нем переменные и интегрируя, находим общее решение:

;;

; | ׃ (х у) (предполагая, что х у ≠ 0)

‌ ;

;

;

;

; .

Положив С = ± С₀ (), получаем общее решение линейного однородного уравнения (2): (24)

Самостоятельно убедитесь, что формула (24) определяет все решения уравнения (23), если допустить, что постоянная С может принимать любое действительное значение, в том числе и 0, т.е. .

Согласно методу Лагранжа, решение неоднородного уравнения (22) будем искать в виде, подобном общему решению (24) соответствующего линейного однородного уравнения (23), полагая, что С – есть некоторая неизвестная и подлежащая определению дифференцируемая функция, зависящая от х, т.е. в виде:

(25)

Для нахождения С (х) подставим функцию (25) в уравнение (22):

;

;

;

;

;

Откуда: ;

;

. (26)

Подставляя (26) в (25), находим общее решение заданного линейного неоднородного уравнения (22): .

Ответ: .

б) Метод Бернулли.

Согласно методу Бернулли решение уравнения (22) ищется в виде

y = u (x) v (x) (27)

где u(x) и v(x) – новые неизвестные и подлежащие определению дифференцируемые функции.

Тогда: .

Подставив (27) и полученное выше выражение для у^/ в уравнение (22) имеем:

(28)

Для отыскания неизвестных функций u(x) и v(x) необходимо сформулировать два условия, каждое из которых выражается дифференциальным уравнением, причем одно из них можно установить совершенно произвольно. Вторым же условием является требование, чтобы найденное в результате произведение u(x) · v(x) – действительно являлось решением заданного уравнения (22). Выберем, например, функцию v (x) так, чтобы в левой части уравнения (28) получить вместо 3-ех слагаемых только одно. Для этого сначала в левой части уравнения (28) сгруппируем 2-ое и 3-е слагаемые и вынесем за скобку функцию u(x):

(29)

затем (в силу произвольности выбора функции v(x)) за v (x) примем одно из частных решений уравнения: (30)

которое обращает в ноль множитель при u (x) уравнении (29).

Уравнение (30) представляет собой дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, интегрируя которое, найдем функцию v (x):

;

;

;

.

Так как v(x) выбираем произвольно, то можно принять С = 0, тогда

;

В силу произвольности выбора функции v(x), положим: v(x) = (31)

Для нахождения функции u(x) подставим (31) в уравнение (29). В результате, сразу учтя соотношение (30), получаем: ;

;

;

;

, (32)

Подставляя (31) и (32) в соотношение (27), найдем общее решение заданного линейного неоднородного дифференциального уравнения (22):

,

Ответ: ,

Дата добавления: 2014-01-07