Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции

Определение 1. Функция называется дифференцируемой в точке x ₀, если существует производная функции f в точке x ₀.

Определение 2. Функция называется непрерывной в точке x ₀, если:

1) функция f определена в точке x ₀;

2) существует предел функции f в точке x ₀;

3) .

Теорема 2. Если функциядифференцируема в точке x ₀ , то она непрерывна в точке x ₀.

Доказательство. Заметим, что условие равносильно условию , т.е. .

По определению дифференцируемости функции f в точке x ₀ существует .

Следовательно, , т.е. функция f непрерывна в точке x ₀. Теорема доказана.

Замечание 1. Непрерывность функции f в точке x ₀ не является достаточным условием дифференцируемости функции f в точке x ₀. Например, функция y = | x | непрерывна в точке x =0, но не имеет в этой точке производной.

Более того, существуют функции, непрерывные в каждой точке числовой прямой, но не имеющие производной ни в одной точке.

Замечание 2. Понятия непрерывности и дифференцируемости функции имеют достаточно наглядную геометрическую интерпретацию.

Если функция f непрерывна на промежутке (т.е. непрерывна в каждой точке этого промежутка) то график функции на этом промежутке можно изобразить, не отрывая изображающего инструмента (карандаша, ручки, мела и т.д.) от плоскости изображения (листа бумаги, доски и т.д.).

Если функция f дифференцируема на промежутке (т.е. имеет производную в каждой точке этого промежутка) то график функции на этом промежутке является гладкой кривой без разрывов и изломов.

Дата добавления: 2014-01-07