КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Интегральный признак сходимости числовых рядов
Теорема 1 (интегральный признак Коши). Пусть - ряд с неотрицательными членами и существует непрерывная, невозрастающая, неотрицательная функция y = f (x), определенная на такая, что f (n) =an для всех n Î N. Тогда ряд и несобственный интеграл первого рода сходятся или расходятся одновременно. Доказательство. Сходимость интеграла функции f, удовлетворяющей условиям теоремы, равносильна существованию предела последовательности, т.е. сходимости ряда для которого интеграл является (п- 1)-ой частичной суммой. Осталось показать, что ряды и сходятся или расходятся одновременно. В силу монотонности f для любого n Î N при всех x Î[ n; n +1] выполняются неравенства an +1= f (n +1)£ f (x)£ f (n)= an. Следовательно, для любого n Î N. Если сходится ряд , то, по признаку сравнения, сходится и ряд с меньшими членами . Обратно: если сходится ряд , то, по признаку сравнения, сходится и ряд с меньшими членами . Следовательно, по теореме 2.2, сходится и ряд . Теорема доказана. Замечание 1. С помощью интегрального признака несложно проверить, что числовой ряд сходится, если а >1, и расходится, если a £1. Ряд называется гармоническим рядом, а ряд с произвольным a Î R называется обобщенным гармоническим рядом. 4. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимости рядов Исследование рядов с членами произвольных знаков представляет более трудную задачу, однако в двух случаях есть удобные признаки: для знакочередующихся рядов - теорема Лейбница; для абсолютно сходящихся рядов применим любой признак исследования рядов с неотрицательными членами. Определение 1. Числовой ряд называется знакочередующимся, если любые два соседних члена имеют противоположные знаки, т.е. ряд имеет вид или , где an >0 для каждого n Î N.
Теорема 1 (Лейбница). Знакочередующийся ряд сходится, если: 1) (an) - невозрастающая последовательность; 2) при . При этом модуль суммы знакочередующегося ряда не превосходит модуля его первого члена, т.е. | S |£ a 1. Доказательство. Пусть ряд имеет вид . Рассмотрим последовательность . Она является неубывающей, так как для любого n Î N выполняется условие , и ограниченной сверху, так как для любого n Î N выполняется условие . Следовательно, последовательность сходится. Пусть . Тогда . Отсюда получаем, что последовательность сходится к S, т.е. ряд сходится и имеет сумму S. Заметим также, что , следовательно, для любого n Î N выполняется условие . Аналогичными рассуждениями доказывается, что , следовательно, . Если же ряд имеет вид , то . Следовательно, в общем случае выполняется неравенство . После предельного перехода при получаем , что и требовалось доказать. Следствие 1. Модуль остатка знакочередующегося ряда типа Лейбница не превосходит модуля его первого члена, т.е. . Определение 2. Если сходится ряд , то ряд называется абсолютно сходящимся. Теорема 2. Если сходится ряд , то ряд также сходится. Например, ряд является абсолютно сходящимися, так как ряд сходится по признаку сравнения, ибо для любого n Î N, а ряд сходится (a =2>1). Абсолютно сходящиеся ряды имеют ряд важных свойств, которыми обладают конечные суммы чисел: - слагаемые можно переставлять местами; - слагаемые можно группировать разными способами; - суммы рядов можно перемножать. Определение 3. Ряд называется перестановкой ряда , если существует биекция такая, что для любого n Î N. Теорема 3. Если ряд абсолютно сходится, то сходится, и притом абсолютно, любая перестановка данного ряда, и их суммы совпадают. Определение 4. Если ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называется условно сходящимся.
Ряд является условно сходящимся. Действительно, ряд сходится (по теореме Лейбница), а ряд расходится. Теорема 4 (Римана). Если числовой ряд условно сходится, то для любого существует такой числовой ряд , полученный перестановкой членов ряда , что ряд сходится и его сумма равна C.
Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 800; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |