Понятие случайной величины и ее описание

Доказательство.

а) неравенство ½ m - np ½£e равносильно двойному неравенству np -e £ m £ np +e. Следовательно, по интегральной формуле Муавра-Лапласа

.

Дискретная случайная величина и ее закон (ряд) распределения.

Одним из фундаментальных понятий теории вероятностей является понятие случайной величины.

Под случайной величиной понимается переменная, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из возможного множества своих значений (какое именно — заранее неизвестно).

Случайные величины будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита X, Y, Z, …, а их значения ¾ соответствующими строчными буквами x, y, z, ….

Наиболее полным описанием случайной величины является ее закон распределения.

Определение. Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Сначала рассмотрим дискретные случайные величины (ДСВ), характеризуемые конечным или бесконечным, но счетным множеством возможных значений, и соответствующими им вероятностями р_i = Р (Х = x_i).

Для дискретной случайной величины закон распределения может быть задан аналитически (в виде формулы), графически и в виде таблицы.

Таблица, в которой перечислены в порядке возрастания все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности, называется рядом распределения дискретной случайной величины.

	X:	x 1	x 2	¼	xi	¼	xn
p 1	p 2	¼	pi	¼	pn

События Х = x ₁, Х = x ₂, ¼, Х = x_n, состоящие в том, что в результате испытания случайная величина Х примет соответственно значения x ₁, x ₂, ¼, x_n, являются несовместимыми и единственно возможными, т.е. образуют полную группу событий. Следовательно, сумма их вероятностей равна 1, т.е. .

Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не меняется от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины называются зависимыми.

Если говорить более строго, то случайная величина есть функция, заданная на множестве элементарных исходов.

При решении задач случайная величина, как и случайное событие, подлежит четкому определению по условию. Ее связь со случайным событием заключается в том, что принятие ею некоторого числового значения (то есть выполнение равенства Х = x_i,) есть случайное событие, характеризуемое вероятностью Р (Х = x_i)= р_i.

Большинство задач темы связано с построением для заданной случайной величины закона распределения, т.е. таблицы вида . Решение подобных задач требует, прежде всего, четких определений случайной величины и испытания, количественный результат которого характеризуется значениями x ₁, x ₂, …, x_i, …, x_n.

Затем можно перейти к построению закона распределения случайной величины, а точнее — к вычислению вероятностей р_i как вероятностей событий Х = x_i. Здесь могут быть использованы приемы и методы, рассмотренные при решении задач в темах 1—3.

Общая схема решения задач на построение законов распределения включает:

1) введение и четкое описание случайной величины, о которой идет речь;

2) описание множества ее возможных значений x ₁, x ₂, …, x_i, …, x_n;

3) рассмотрение выполнения каждого из равенств Х = х_i, как случайного события;

4) вычисление вероятностей этих событий с помощью основных теорем и формул;

5) проверка правильности составленного распределения с помощью равенства .

Особое внимание следует обратить на числовые характеристики случайной величины, призванные в сжатой форме выразить наиболее существенные черты распределения, в частности, на математическое ожидание и дисперсию и их свойства.

Дата добавления: 2014-01-07